Esercizio Sistema lineare

[Linux1987]

$ { ( -x+z =0),( 3x-3z=0 ),( -2x+2z=0 ):} $
Mi aiutate a risolvere questo sistema,? in base a rouchè capelli è indeterminato.

[minomic]

Ciao, scrivo la matrice associata:
\[
\left (
\begin{array}{cc|c}
-1 & 1 & 0 \\
3 & -3 & 0 \\
-2 & 2 & 0 \\
\end{array}
\right )
\]Direi che si vede ad occhio che la seconda riga è uguale alla prima cambiata di segno e moltiplicata per $3$, mentre la terza riga è semplicemente il doppio della prima. Quindi attraverso opportune trasformazioni di riga posso portare la matrice nella seguente forma:
\[
\left (
\begin{array}{cc|c}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right )
\] La matrice ha rango $1$, quindi le soluzioni saranno $oo^(2-1)$, cioè $oo^1$, quindi dipendenti da un parametro.
Considerando la prima riga otteniamo $x=z$, quindi il vettore delle soluzioni sarà fatto come
\[
\begin{pmatrix}x\\y\\x\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
\]

Tutto chiaro?

[Linux1987]

no no non mi trovo !! il sistema è verificato per tutti i vettori della forma $(\alpha,\beta,\alpha) $ con $\alpha ,\beta \in R$
questa è la soluzione ma non riesco a pervenirvi

[minomic]

Sì hai ragione, avevo sbagliato io a scrivere. Correggo il post precedente.

[Linux1987]

Si ma non ho ben capito come si perviene alla soluzione

[simon191]

Detto proprio grezzamente te praticamente sulla matrice associata ci fai Gauss o comunque vedi che hai come unico pivot diverso da 0 quello che ha valore -1, poi vai in diagonale a vedere gli altri pivot e dopo ti accorgi di avere un pivot =0 che verifica l'uguaglianza 0=0 quindi siccome hai un unico parametro libero è infinito alla 1 se tu avessi avuto 2 parametri liberi avresti dovuto scrivere infinito alla 2 per intenderci...quindi le soluzioni sono uno Span di vettori ad essere precisi...(mi scuso per la scrittura "terra terra")...non so se ti sono stato di aiuto, se c'è qualcosa chiedi pure