Esercizio: si determini una base di...

[blaster_nothere]

Sia U=<(1,1,1,1),(1,-1,-3,1)> e V l'insieme delle soluzioni del sistema {t=0 x-2y+z=0 nelle indeterminate x,y,z,t. Si determini una base di U(intersecato)V e una base di U+V.
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Risolvendo il sistema viene {t=0 x=2y-z quindi --> PerOgni y,z
Si deduce che la dimensione di V è 2; e che una base di V puo esser (2,1,0,0),(-1,0,1,0).

Si forma una combinazione lineare a(1,1,1,1)+b(1,-1,-3,1)=c(2,1,0,0)+d(-1,0,1,0) per l'intersezione...
...dal sistema vien fuori {a=-b d=-4b c=-2b quindi --> PerOgni b
Si deduce che la dimensione di U(intersecato)V è 1; e che una base di U(intersecato)V puo esser (-1,1,-2,-4)
[[se non ho sbagliato i conti ]]

essendo dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U(intersecato)V) allora dim(U+V)=2+2-1=3

[[e fin qui spero sia giusto ]]


Adesso per trovare una base di U+V (aiutatemi!!!!)
Si forma una comb. lineare a(1,1,1,1)+b(1,-1,-3,1)+c(2,1,0,0)+d(-1,0,1,0)=(0,0,0,0)
e si scopre che sono linearmente dipendenti..
quindi una base puo esser (1,1,1,1),(2,1,0,0),(-1,0,1,0) eliminado il secondo vettore???

GRAZIE DELLE EVENTUALI RISPOSTE!CIAO!

[kekko989]

in generale,se devi trovare l'intersezione tra due sottospazi vettoriali,ti conviene mettere insieme le loro equazioni cartesane e risolverti il sistema. Nel tuo caso $V={(t=0, x-2y+z=0)$ e $U={(x=t, 2x-4y+2z=0$ (Le equazioni di U le puoi vedere ad occhio o facendo una combinazione lineare dei vettori della base e porla uguale a zero). Di conseguenza,se un vettore sta nell'intersezione, deve avere $t=0=x$ e $x=2y$. Di conseguenza l'intersezione ha dimensione 1 ed una base è $((0),(1),(2),(0))$. Per l'unione,la relazione di Grassman ti dice che ha dimensione tre,e per trovare una base,basta che prendi 3 dei 4 vettori dati dall'unione delle basi (devi eliminare quello dipendente). La base che hai preso tu è sbagliata perchè il terzo vettore è combinazione lineare dei primi due(precisamente il primo meno il secondo..