Esercizio sfera e differenziale
Ciao, dopo un messaggio di pochi giorni fa vorrei scriverne un altro. Infatti, finiti gli esami sto approfondendo da autodidatta alcune cose di geometria dato che a ingegneria ne abbiamo meno di zero 
e sono qui a tediarvi.
Ho questo esercizio che mi lascia innervosito perché non mi viene
mi aiutereste a capire come fare?
S è la superficie
Per come definito dal libro che sto seguendo il differenziale si calcola come: $d/(dt)(f∘alpha)$ con $alpha(t)$ curva tale che $dotalpha(0)=vecw$
La mia idea era prendere una curva $α(t)=(x+tw_x,y+tw_y,z+tw_z)$ e comporla con f e fare la derivata, però poi mi sono accorto che è stupido perché quellla è una curva in $R^3$, insomma mi va "dritta", io invece devo far seguire la superficie.
allora ho pensato che posso prendere una curva in $R^2$ t.c sia: $g:t->(u,v)+tvecw$ e comporla con la parametrizzazione $phi$ della superficie. Quindi avere poi $alpha(t)=phi∘g$ e applicare.
Però non conoscendo la $phi$ esplicita è un casino, allora ho pensato bé proviamo a usare la sfera e una parametrizzazione con x,y: $phi(x,y)=(x,y,sqrt(-x^2-y^2+1))$.
Ma a parte che qui parametrizzo solo la calotta superiore per esempio quindi vi chiedo: come faccio a fare per w generico? a me sembra si usare solo curve che stanno nella calotta sopra mentre il risultato del testo dovrebbe essere generico, ma poi componendo il tutto mica mi torna.
Aiuti!?
PS: vediamo, se va bene come premio vi rompo con altri 2 3 esercizi che mi sono lasciato da parte on risolti (poiché non capace XD)
e sono qui a tediarvi.Ho questo esercizio che mi lascia innervosito perché non mi viene
mi aiutereste a capire come fare?S è la superficie
Sia $p=(x,y,z)$ un generico punto di $S$.Sia $f:S→R$ la funzione $f(p)=z^2$.Dimostrare che il suo differenziale, nel punto p e direzione w, è $df(p)(w)=2zw$.
Per come definito dal libro che sto seguendo il differenziale si calcola come: $d/(dt)(f∘alpha)$
La mia idea era prendere una curva $α(t)=(x+tw_x,y+tw_y,z+tw_z)$ e comporla con f e fare la derivata, però poi mi sono accorto che è stupido perché quellla è una curva in $R^3$, insomma mi va "dritta", io invece devo far seguire la superficie.
allora ho pensato che posso prendere una curva in $R^2$ t.c sia: $g:t->(u,v)+tvecw$ e comporla con la parametrizzazione $phi$ della superficie. Quindi avere poi $alpha(t)=phi∘g$ e applicare
Però non conoscendo la $phi$ esplicita è un casino, allora ho pensato bé proviamo a usare la sfera e una parametrizzazione con x,y: $phi(x,y)=(x,y,sqrt(-x^2-y^2+1))$.
Ma a parte che qui parametrizzo solo la calotta superiore per esempio quindi vi chiedo: come faccio a fare per w generico? a me sembra si usare solo curve che stanno nella calotta sopra mentre il risultato del testo dovrebbe essere generico, ma poi componendo il tutto mica mi torna.
Aiuti!?
PS: vediamo, se va bene come premio vi rompo con altri 2 3 esercizi che mi sono lasciato da parte on risolti (poiché non capace XD)
Risposte
L'hai scritto. Se \(\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to S\) è una curva tale che \(\alpha'(0) = w\), allora \(\mathrm d_p f (w) = (f \circ \alpha)'(0)\). Un po' di analisi ora: sai calcolare il secondo membro? (Sì.)
Non credo sia tanto la derivazione composta a preoccuparmi, o almen per ora credo.
Il punto è che mi preoccupa che $alpha(t):(-delta,+delta)->S$ è la curva $g:(-delta,+delta)->RR^2$ composta con la parametrizzaizone.
Quindi dovrei avere: $d_pf(w)=(f∘phi∘g)′(0)$ ma io non conosco esplicitamente $phi$ quindi come faccio?
Ho pensato di farmi un caso esplicito: $ϕ(x,y)=(x,y,sqrt(−x2−y2+1))$
Da qui i dubbi di cui sopra:
Grazie
Il punto è che mi preoccupa che $alpha(t):(-delta,+delta)->S$ è la curva $g:(-delta,+delta)->RR^2$ composta con la parametrizzaizone.
Quindi dovrei avere: $d_pf(w)=(f∘phi∘g)′(0)$ ma io non conosco esplicitamente $phi$ quindi come faccio?
Ho pensato di farmi un caso esplicito: $ϕ(x,y)=(x,y,sqrt(−x2−y2+1))$
Da qui i dubbi di cui sopra:
Ma a parte che qui parametrizzo solo la calotta superiore per esempio quindi vi chiedo: come faccio a fare per w generico? a me sembra si usare solo curve che stanno nella calotta sopra mentre il risultato del testo dovrebbe essere generico, ma poi componendo il tutto mica mi torna.
Grazie
Sì, a volte hai bisogno di più parametrizzazioni per una stessa supericie per coprirla tutta. Succede.
Ma quanto fa \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} (f \circ \alpha) (0)\)? Hai proprio bisogno di \(\phi\)?
Ma quanto fa \(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} (f \circ \alpha) (0)\)? Hai proprio bisogno di \(\phi\)?
Sì, a volte hai bisogno di più parametrizzazioni per una stessa supericie per coprirla tutta. Succede.Sì, infatti non è tanto quello a preccuparmi, nel senso, ho più parametrizzazione e bona lì.
Il punto è che dicevo se io devo calcolare $d/(dt)(f∘phi_i∘g)(0) $ allora mi dà problemi perché ho $phi_i$ diverse di volta in volta per parametrizzarla tutta.
Tu sembri suggerire che non serva $phi$ e basta calcolare $d/(dt)(f∘g)(0) $ ma ammetto che non capisco il motivo. perché io ho la mia g funzione che finisce in $RR^2$ cioè la mia curva che finisce in $R^2$ data da $ (t)=(x+tw_x,y+tw_y,z+tw_z) $. Ma la mia f ha per dominio S, quindi mi pare di doverla mandare sta curva in S. E posso farlo solo tramite $phi$. E' questo che non capisco.
Poi quanto al calcolo : $d/(dt)(f∘alpha)(0) $ beh sarebbe se assumo $α(t)=(x+tw_x,y+tw_y,z+tw_z)$ la mia curva (ma che ripeto è sbagliata perché sono rette mentre la superficie può essere curva)
$f∘alpha=(z+tw_z)^2$ => $d/(dt)(f∘alpha)(0)=2*(z+0*w_z)*w_z=2zw_z$
La mia idea era quindi usare $phi$ perché così mandavo curve da R2 alla superficie e rimanevano "aderenti" ad esse, non quelle cavolo di rette
EDIT: ok forse ci sono arrivato, però prima ero curioso di vedere la tua risposta a quanto sopra. Perché vorrei capire se ho detto cose ragionevoli
.Aspetterò la tua risposta con ansia
Perché prendi una linea dritta?
Sia \(\alpha : J \to S\) una curva tracciata sulla superificie tale che \(\alpha(0) = p = (p_1, p_2, p_3)\) e \(\dot\alpha(0) = w = (w_1, w_2, w_3)\). Nel nostro caso \(f \circ \alpha (t) = \alpha_3(t)^2\) dove \(\alpha_3\) è la terza componente di \(\alpha\). Calcoliamo questa derivata: \((f \circ \alpha)'(t) = 2 \alpha_3(t) \alpha_3'(t)\), perché se valuti in \(t = 0\) hai il differenziale \((f \circ \alpha)'(0) = 2p_2w_3\).
Sia \(\alpha : J \to S\) una curva tracciata sulla superificie tale che \(\alpha(0) = p = (p_1, p_2, p_3)\) e \(\dot\alpha(0) = w = (w_1, w_2, w_3)\). Nel nostro caso \(f \circ \alpha (t) = \alpha_3(t)^2\) dove \(\alpha_3\) è la terza componente di \(\alpha\). Calcoliamo questa derivata: \((f \circ \alpha)'(t) = 2 \alpha_3(t) \alpha_3'(t)\), perché se valuti in \(t = 0\) hai il differenziale \((f \circ \alpha)'(0) = 2p_2w_3\).
Perfetto, era quello che pensavo nell'edit. Mi ero stupidamente bloccato perché dicevo come calcolo $dotalpha$ se non lo conosco esplicitamente $phi$ composto $alpha$. Ma scemo me non pensavo che io so già per la teoria che $dotalpha(0)=vecw$ quindi io non ho bisogno di prendere una curva esplicita e calcolarmi la derivata in zero, perché già so che fara w. Mentre io cercavo di trovare il w da una curva a me nota.
In ogni caso grazie mille per il tuo aiuto, mi hai aiutato moltossimo a ragionare, grazie!
In ogni caso grazie mille per il tuo aiuto, mi hai aiutato moltossimo a ragionare, grazie!
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