Esercizio sfera

[IlaCrazy]

Data la sfera di centro C (1,1,2) sapendo che è tangente al piano di equazione $x+y=0$ trovare :

1. L'equazione della sfera
2. Il punto T di intersezione tra sfera e piano
3. La retta passante per T e contenente il raggio
4. L'angolo formato tra retta e asse x.

Come si fa????
Grazie a chiunque mi darà 1 risp!

[gugo82]

Perchè non ci dici tu come hai pensato di fare?

Innanzitutto, hai immaginato la situazione? Hai fatto un disegno?

[IlaCrazy]

Ho inserito l'equazione del centro in quella della sfera, poi per determinare il valore del raggio ho inserito le coordinate del versore $(1,1,0)$ che mi definisce il piano.
A questo punto, ottenuta l'equazione, per cercare il punto T di tangenza ho messo a sistema equazione della sfera e del piano, ponendo delta=0.
Ho ricavato i risultati in funzione di x e Z poi li ho sostituiti ottenendo il punto (1,0,2).
Ma per trovare l'equazione della retta andava bene usare come versore quello del piano???
Help!!!

P.S.
L'esercizio l'ho postato perchè vorrei ke qualcuno mi illuminasse... io ci ho già provato ma brancolo nel buio...

[gugo82]

Il punto $(1,0,2)$ non sta sul piano $x+y=0$.

Il consiglio è sempre quello: cercate di farvi un'immagine mentale del problema prima di iniziare a fare conti; in tal modo torna tutto più semplice.

Il tuo punto sta sul piano $z=2$; immagina di tagliare il piano $x+y=0$ con $z=2$ e di guardare tutto dall'alto (ossia di proiettare la tua intersezione col piano $z=2$ sul piano coordinato $Oxy$): la situazione è quella descritta dal disegno qui sotto:
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-1;ymax=3;
axes("labels", "grid");
plot("-x",-3,3);
dot([1,1]);
text([-0.5,-0.5],"x+y=0",aboveright);
text([1,1],"C", below);[/asvg]
La sfera che cerchi è quella la cui intersezione col piano $z=2$ genera la circonferenza disegnata qui sotto:
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-1;ymax=3;
axes("labels", "grid");
plot("-x",-3,3);
dot([1,1]);
text([-0.5,-0.5],"x+y=0",aboveright);
text([1,1],"C", below);
stroke="dodgerblue";
circle([1,1],1.41);[/asvg]
Determinare il raggio di tale circonferenza (che poi coincide con quello della sfera) non mi pare arduo; così come non mi sembra difficile determinare il punto di tangenza della circonferenza con la retta $x+y=0$ (le cui coordinate coincidono con le prime due coordinate del punto di tangenza tra sfera e piano $x+y=0$).

Per quanto riguarda la retta, basta usare come versore direzionale quello normale al piano (che conosci dall'equazione) e far passare il tutto per $C$.
Per quanto riguarda l'angolo, basta usare un po' il prodotto scalare tra i versori delle due rette.


P.S.: Sposto in Geometria e algebra lineare.

[IlaCrazy]

Allora, prima ho sbagliato a postare le coordinate del punto di tangenza che mi risultano $(1,-1,2)$
Per trovare la retta come tu dici ho imposto il passaggio per T e ho usato come versore quello perpendicolare al piano.
Successivamente per trovare l'angolo tra retta e asse x ho trovato il valore del parametro $t$ nell'equazione della retta che si annulla per $y=0$(eq.asse x) ottengo un versore e trovo il coseno direttore (alternativa al prodotto scalare)
l'angolo mi risulta 45° che mi pare abbastanza coerente (spero!!!!!!!!!!! )

[gugo82]

Toglimi una curiosità: l'hai letto un po' il mio post oppure ho perso tempo a scrivere una cosa inutile?

Ma (cfr. il disegno che ho fatto prima e quello che segue) ti pare possibile che il punto di tangenza sia $(1,-1,2)$?
[asvg]xmin=-1;xmax=3;ymin=-1;ymax=3;
axes("labels","grid");
plot("-x",-2,3);
dot([1,1]);
text([1,1],"C",below);
text([-0.5,-0.5],"x+y=0",aboveright);
stroke="red";
circle([1,1],2);[/asvg]

Per l'angolo, ok è quello, ma i tuoi conti sono sbagliatissimi... Se il punto di tangenza fosse, come dici tu, $T=(1,-1,2)$, il vettore direzionale della retta congiungente $C=(1,1,2)$ sarebbe $(1-1,1-(-1),2-2)=(0,2,0)$ che dalle mie parti è ortogonale al versore dell'asse $x$, cioè $(1,0,0)$, mica inclinato a $45°$!?!

Devi rivedere bene ciò che hai scritto.