Esercizio semplicissimo di geometria proiettiva

[GreenLink]

Determinare in $P^2(CC)$ l'equazione della retta passante per i due punti $(-1,1,1)$ $(1,3,2i)$.
Se non sbaglio l'equazione generica di una retta proiettiva è $A_0x_0+A_1x_1+A_2x_2=0$, quindi ho imposto il passaggio per i due punti per determinare $A_0,A_1,A_2$
Vorrei sapere se il ragionamento è corretto visto che ho ripetuto i conti parecchie volte. Grazie mille.

[Lord K]

Cosa non ti convince?

[GreenLink]

Solamente il fatto che se impongo il passaggio per i due punti non ottengo un'identità!
Evidentemente ho sbagliato i conti una marea di volte

[Lord K]

Prima fai una retta nello spazio affine e poi omogeneizzi la formula, ovvero:

$x+ay+b=0$

con i tuoi valori:

${((-1)+a+b=0),(1+3a+2ib=0):}$
${(a+b=1),(3a+2ib=-1):}$

da cui:

$b=4/13*(3+2i)$
$a=1/13*(1+8i)$

Da cui poi supponendo $x=X_0/X_2$ e $y=X_1/X_2$ ottengo:

$X_0+aX_1+X_2=0$

[Sk_Anonymous]

Forse sbaglio ma non vedo la difficoltà ( e nemmeno così tanti calcoli).Imponendo il passaggio per i 3 punti ottengo il sistema:
${(-A_o +A_1+A_2=0),(A_0+3A_1+2i* A_2=0):}$

Si tratta di un sistema (lineare) omogeneo di 3 incognite e due equazioni.Esso ha infinite soluzioni ,tutte
proporzionali ai minori ( presi a segno alterno) ricavati dalla matrice dei coefficienti cancellando una colonna per volta.
Ovvero:
matrice-coefficienti : $((-1,1,1),(1,3,2i))$
minori-presi-come-detto : $((1,1),(3,2i))=2i-3,-((-1,1),(1,2i))=1+2i,((-1,1),(1,3))=-4$
Pertanto la richiesta equazione è:
$(2i-3)x_o +(2i+1)x_1-4x_2=0$
perfettamente soddisfatta dai 3 punti dati.