Esercizio semplice, ma ho un dubbio
La traccia è:
Siano U=L($(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)$) e W=L($(1,1,0,-1),(0,1,0,0)$) due sottospazi.
1)Verificare se $dimU=2$, se $dimW=2$, se $dim(U+W)=3$, se $dim(UnnW)=1$.
2)Verificare inoltre se i vettori $(2,0,0,-2)$ e $(1,0,0,1)$ appartengono a $UnnW$ .
Ho verificato tutte le condizioni del primo punto.
Per quanto riguarda il secondo, non riesco a capire come fare per verificare se i due vettori dati appartengono a $UnnW$.
Per la proprietà dell'intersezione questi vettori dovrebbero appartenere sia ad $U$ che a $W$, giusto?
Quindi, per verificare prima l'appartenenza ad $U$, cosa devo fare? Devo prendere la base di $U$ trovata: $B_U$=[$(1,0,2,1),(3,0,2,-1)$} , aggiungere $(2,0,0,-2)$ come terzo vettore e verificare che il rango della matrice ottenuta $\rho(U)=2$ ? Perchè ciò significherebbe che i vettori di $U$ sono linearmente dipendenti?
Siano U=L($(1,0,2,1),(3,0,2,-1),(2,0,2,0)$) e W=L($(1,1,0,-1),(0,1,0,0)$) due sottospazi.
1)Verificare se $dimU=2$, se $dimW=2$, se $dim(U+W)=3$, se $dim(UnnW)=1$.
2)Verificare inoltre se i vettori $(2,0,0,-2)$ e $(1,0,0,1)$ appartengono a $UnnW$ .
Ho verificato tutte le condizioni del primo punto.
Per quanto riguarda il secondo, non riesco a capire come fare per verificare se i due vettori dati appartengono a $UnnW$.
Per la proprietà dell'intersezione questi vettori dovrebbero appartenere sia ad $U$ che a $W$, giusto?
Quindi, per verificare prima l'appartenenza ad $U$, cosa devo fare? Devo prendere la base di $U$ trovata: $B_U$=[$(1,0,2,1),(3,0,2,-1)$} , aggiungere $(2,0,0,-2)$ come terzo vettore e verificare che il rango della matrice ottenuta $\rho(U)=2$ ? Perchè ciò significherebbe che i vettori di $U$ sono linearmente dipendenti?
Risposte
[mod="Martino"]Per favore specifica l'argomento nel titolo. Grazie.[/mod]
Allora, per quanto riguarda le tue domande la risposta è sì, puoi fare benissimo così perchè se si ha che un vettore si può scrivere come combinazione lineare degli altri, significa che essi sono linearmente dipendenti.
Ora qui $(2,0,2,0)$ per forza sta in $U$, lo dice l'esercizio; per quanto riguarda l'appartenenza a $W$ puoi anche fare il rango, ma si vede a occhio che non ci può stare.
Il discorso si ripete per $(1,0,0,1)$: neanche lui sta in $W$.
Se poi non hai usato la formula di Grassmann nel punto 1, dovresti addirittura avere una base di $U\nnW$ con un solo generatore e a quel punto è banale vedere che non si possono esprimere quei vettori come "multipli" del vettore della base (un generatore di $U\nnW$ dovrebbe essere $(1,0,0,-1)$, se non ho sbagliato tutti i calcoli, cosa di cui sono capace...
).
Torna?
Ora qui $(2,0,2,0)$ per forza sta in $U$, lo dice l'esercizio; per quanto riguarda l'appartenenza a $W$ puoi anche fare il rango, ma si vede a occhio che non ci può stare.
Il discorso si ripete per $(1,0,0,1)$: neanche lui sta in $W$.
Se poi non hai usato la formula di Grassmann nel punto 1, dovresti addirittura avere una base di $U\nnW$ con un solo generatore e a quel punto è banale vedere che non si possono esprimere quei vettori come "multipli" del vettore della base (un generatore di $U\nnW$ dovrebbe essere $(1,0,0,-1)$, se non ho sbagliato tutti i calcoli, cosa di cui sono capace...
).Torna?
Ho usato la formula di Grossman, comunque il primo vettore, studiando il rango, dovrebbe appartenere ad $U$, non trovi?ed in effetti, a meno che non abbia sbagliato anch'io, anche a $W$
Ops, il primo vettore per il quale bisogna verificare l'appartenenza non è quello che ho scritto, ma $(2,0,0,-2)$...ora ho corretto...che sbadata!scusami!
Ops, il primo vettore per il quale bisogna verificare l'appartenenza non è quello che ho scritto, ma $(2,0,0,-2)$...ora ho corretto...che sbadata!scusami!
De nada... ok, allora tutto a posto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo