Esercizio semplice base

[cechuz]

ho il seguente sottoinsieme $ {1;x+2;x^2+x;1+x+x^2} $ dei polinomi in x di grado minore o uguale a due, aventi coefficienti reali. Devo determinare se il sottoinsieme in questione è una base, se non lo è determinare la base e stabilire se questo insieme genera lo spazio vettoriale dei polinomi in x di grado minore o uguale a due.

io ho pensato di scrivere la matrice 4x3 corrispondente con i vettori $ v1=(0,0,1) v2=(0,1,2) v3=(1,1,0) v4=(1,1,1) $
ossia $ A= $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e di calcolarmi il determinante che in questo caso è det(A)=0 . Quindi i vettori non sono linearmente indipendenti, il che vuol dire che l'insieme non è una base. Ho ridotto la matrice in scala ottenendo \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} quindi l'insieme dei polinomi diventa $ {x^2+x;x+2;1} $ ora ho tre vettori lin.indipendenti ma la dimensione dello spazio vettoriale è 2 perciò devo concludere che $ {x^2+x;x+2;1} $ non sia una base di $ R^2 $ , però non so come determinarla. Inoltre dato che ho verificato che il rango massimo della matrice A è 3 e quindi l'insieme dei polinomi di partenza è un insieme di generatori di $ R^3 $ è anche un insieme di generatori di $ R^2$ ?

[Magma1]

Ciao

"cechuz":Ho il seguente sottoinsieme $ {1;x+2;x^2+x;1+x+x^2} $ dei polinomi in $RR[x]_(<=2)$.
Devo determinare se il sottoinsieme in questione è una base, se non lo è determinare la base e stabilire se questo insieme genera lo spazio vettoriale dei polinomi in $x$ di grado minore o uguale a due.

io ho pensato di scrivere la matrice 4x3 corrispondente con i vettori $ v1=(0,0,1) v2=(0,1,2) v3=(1,1,0) v4=(1,1,1) $
ossia $ A= $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e di calcolarmi il determinante che in questo caso è det(A)=0 . Quindi i vettori non sono linearmente indipendenti, il che vuol dire che l'insieme non è una base. Ho ridotto la matrice in scala ottenendo \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} quindi l'insieme dei polinomi diventa $ {x^2+x;x+2;1} $ ora ho tre vettori lin.indipendenti

Fin qui è giusto.
(Curiosità: come sei solit* scrivere un generico polinomio caratteristico, $a+bx+cx^2$; $ax^2+bx+c$; o in un altro modo?)

"cechuz":ma la dimensione dello spazio vettoriale è 2 perciò devo concludere che $ {x^2+x;x+2;1} $ non sia una base di $ R^2 $

Questa parte non l'ho capita. Quale spazio vettoriale ha dimensione due? Non ti riferirai mica a $R[x]_(<=2)$.

[Bokonon]

"cechuz":ho il seguente sottoinsieme $ {1;x+2;x^2+x;1+x+x^2} $ dei polinomi in x di grado minore o uguale a due, aventi coefficienti reali. Devo determinare se il sottoinsieme in questione è una base, se non lo è determinare la base e stabilire se questo insieme genera lo spazio vettoriale dei polinomi in x di grado minore o uguale a due.

Tradotto, significa prima identifichiamo i vettori indipendenti e poi vediamo se quelli che restano possono formare una base per l'intero spazio vettoriale dei polinomi di grado $n<=2$.
Già il fatto che ce ne siano 4, ci suggerisce che almeno uno è comb. lineari degli altri.
In effetti basta un'occhiata per vedere che il primo e il terzo sono indipendenti e che il quarto è pari alla loro somma, quindi si può scartare in quanto ridondante (=comb. lineare). Il secondo non è comb. lineare del primo e del terzo quindi resta.
E abbiamo già la soluzione, una base di tre vettori l.i. che quindi genera tutto lo spazio vettoriale.

"cechuz":
io ho pensato di scrivere la matrice 4x3 corrispondente con i vettori $ v1=(0,0,1) v2=(0,1,2) v3=(1,1,0) v4=(1,1,1) $
ossia $ A= $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

E qui hai fatto benissimo (anche se personalmente li avrei messi per riga...de gustibus).
Quindi adesso puoi usare Gauss-Jordan per determinare il rango della matrice...

"cechuz":e di calcolarmi il determinante che in questo caso è det(A)=0 .

...e invece no!
Ma come hai fatto a calcolare il determinante di una matrice che non è quadrata?
Se dici una cosa del genere all'orale, ti impalano in sala mensa come Fantozzi!
Regola che d'ora in poi dovrai seguire:
"Per determinare i vettori linearmente indipendenti, li metterò in una matrice, la passerò in forma a scalini e conterò i pivot diversi da zero"
Questo vale per determinare il rango di una matrice di qualsiasi dimensioni.
Se la matrice è quadrata, allora potresti usare il determinante solo per sapere se sono linearmente indipendenti...ma, $se det(A)=0$ ,questo non ti direbbe il rango e non sapresti comunque QUALI sono l.i. e quindi dovresti comunque usare Gauss-Jordan, no?

"cechuz":Ho ridotto la matrice in scala ottenendo \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} quindi l'insieme dei polinomi diventa $ {x^2+x;x+2;1} $ ora ho tre vettori lin.indipendenti

Così va bene! Vedi quant'è fico Gauss-jordan?
Hai trovato la soluzione. La matrice ha rango tre e le righe ti dicono quali sono i vettori l.i.
Servivano tre vettori per generare l'intero spazio e li abbiamo, quindi sono una base per tutto lo spazio vettoriale.

"cechuz":
ma la dimensione dello spazio vettoriale è 2 perciò devo concludere che $ {x^2+x;x+2;1} $ non sia una base di $ R^2 $ , però non so come determinarla. Inoltre dato che ho verificato che il rango massimo della matrice A è 3 e quindi l'insieme dei polinomi di partenza è un insieme di generatori di $ R^3 $ è anche un insieme di generatori di $ R^2$ ?

Questa parte la quoto solo affinchè tu la rilegga

[Magma1]

"Bokonon":[quote="cechuz"]e di calcolarmi il determinante che in questo caso è det(A)=0 .

...e invece no!
Ma come hai fatto a calcolare il determinante di una matrice che non è quadrata?
[/quote]
Nella fretta non c'ho fatto caso manco io; ho letto solo la matrice ridotta per righe