Esercizio-Seifert Van Kampen
Ciao a tutti. Scrivo lo svolgimento di un esercizio, vorrei sapere se è corretto 
Sia X il sottospazio di R^3 definito da :
$ X = {(x, y, z) ∈ R^3| (x^2 + y^2 + z^2 − 4)(z^2 − 1) = 0}$ mostrare che X è semplicemente connesso.
X è l'unione della sfera di raggio 2 e dei piani orizzontali z=1, z=-1.
1)divido X in due aperti, ad esempio :
$A= X nn {(x,y,z) | z> -1/2}, B= X nn {(x,y,z) | z<1/2}$
Noto che A e B hanno intersezione non vuota connessa per archi, quindi se A e B sono semplicemente connessi, per Van Kampen ho concluso. Studio soltanto A, visto che B è identico.
2)Applico Van Kampen ad A. Considero i due insiemi :
$C=A nn {(x,y,z) | || (x,y,z) ||<2}, D= {A \\ (0,0,1)} $
C è un aperto (intersezione di aperti) ed è semplicemente connesso essendo convesso.
D è la calotta superiore della sfera unita al piano z=1 privato del punto (0,0,1), ed è aperto poiché complementare del punto, che è chiuso.
Ora (questo è il passaggio su cui ho più dubbi) :
R^2 \ (0,0,0) si ritrae per deformazione su S^1 $ |-> $ D si ritrae per deformazione sulla calotta (mando il piano meno un punto sulla circonferenza S, intersezione del piano stesso e della sfera).
Se questo è vero, dato che retratti per deformazione di uno spazio sono omotopicamente equivalenti allo spazio e la calotta della sfera è semplicemente connessa, dovrei concludere che D è semplicemente connesso e quindi per Van Kampen A è semplicemente connesso e ho concluso.
Ci sono errori?Grazie a tutti
Sia X il sottospazio di R^3 definito da :
$ X = {(x, y, z) ∈ R^3| (x^2 + y^2 + z^2 − 4)(z^2 − 1) = 0}$ mostrare che X è semplicemente connesso.
X è l'unione della sfera di raggio 2 e dei piani orizzontali z=1, z=-1.
1)divido X in due aperti, ad esempio :
$A= X nn {(x,y,z) | z> -1/2}, B= X nn {(x,y,z) | z<1/2}$
Noto che A e B hanno intersezione non vuota connessa per archi, quindi se A e B sono semplicemente connessi, per Van Kampen ho concluso. Studio soltanto A, visto che B è identico.
2)Applico Van Kampen ad A. Considero i due insiemi :
$C=A nn {(x,y,z) | || (x,y,z) ||<2}, D= {A \\ (0,0,1)} $
C è un aperto (intersezione di aperti) ed è semplicemente connesso essendo convesso.
D è la calotta superiore della sfera unita al piano z=1 privato del punto (0,0,1), ed è aperto poiché complementare del punto, che è chiuso.
Ora (questo è il passaggio su cui ho più dubbi) :
R^2 \ (0,0,0) si ritrae per deformazione su S^1 $ |-> $ D si ritrae per deformazione sulla calotta (mando il piano meno un punto sulla circonferenza S, intersezione del piano stesso e della sfera).
Se questo è vero, dato che retratti per deformazione di uno spazio sono omotopicamente equivalenti allo spazio e la calotta della sfera è semplicemente connessa, dovrei concludere che D è semplicemente connesso e quindi per Van Kampen A è semplicemente connesso e ho concluso.
Ci sono errori?Grazie a tutti
Risposte
$X$ è omotopicamente equivalente allo spazio che ottieni prendendo tre copie di $S^2$ e incollando una al polo nord e l'altra al polo sud della sfera centrale: trova per $X$ una decomposizione cellulare che ti permetta di applicare questo risultato
Se $X$ è un CW-complesso e \(p\colon X\to X/W\) è la proiezione verso un suo qualsiasi sottocomplesso contrattile, allora $p$ è un'equivalenza omotopica.
Se $X$ è un CW-complesso e \(p\colon X\to X/W\) è la proiezione verso un suo qualsiasi sottocomplesso contrattile, allora $p$ è un'equivalenza omotopica.
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