Esercizio segnatura
Salve a tutti,
Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no.
Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$
a) calcolare la segnatura di $phi$;
b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$
Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. Dal momento che non mi interessa calcolare numericamente gli autovalori per sapere la segnatura, applico la regola di Cartesio e ottengo che la prima equazione mi da 1 autovalore positivo e 1 negativo, mentre la 2equazione mi da 2 autovalori negativi. La segnatura è pertanto $(1,3)$.
Per il punto b) ottengo come base ortogonale i vettori $(0,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,2,1,0)$.
Se volete inserisco i passaggi che mi hanno portato a questi vettori.
Grazie a tutti per il futuro aiuto!
Volevo sapere se questo esercizio l'ho risolto in maniera corretta o no.
Sia $phi : RR^4 xx RR^4 to RR$ l'applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata $A=((0,0,0,1),(0,1,-2,0),(0,-2,0,0),(1,0,0,-1))$
a) calcolare la segnatura di $phi$;
b) determinare una base $phi$-ortogonale di $RR^4$
Per il punto a) calcolo il determinante della matrice $A-TI$ e ottengo che il polinomio caratteristico è $[T^2-T-4][T^2+T+1]=0$. Dal momento che non mi interessa calcolare numericamente gli autovalori per sapere la segnatura, applico la regola di Cartesio e ottengo che la prima equazione mi da 1 autovalore positivo e 1 negativo, mentre la 2equazione mi da 2 autovalori negativi. La segnatura è pertanto $(1,3)$.
Per il punto b) ottengo come base ortogonale i vettori $(0,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,2,1,0)$.
Se volete inserisco i passaggi che mi hanno portato a questi vettori.
Grazie a tutti per il futuro aiuto!
Risposte
Per $(1,3)$ intendi $(r,p)$?, $(p,r)$?
A me per esempio viene $sign(A)=(4,2)=(r,p)$
A me per esempio viene $sign(A)=(4,2)=(r,p)$
"anto_zoolander":
Per $(1,3)$ intendi $(r,p)$?, $(p,r)$?
io intendo (p,n) cioè positivo e negativo.
A me per esempio viene $sign(A)=(4,2)=(r,p)$
non capisco... se il polinomio caratteristico ha grado 4 non vuol dire che ha 4 autovalori?
Certo.
Io intendo che ha quattro autovalori di cui due positivi
Io intendo che ha quattro autovalori di cui due positivi
Calcolando numericamente gli autovalori ottengo che la prima equazione ha due autovalori di cui uno positivo e uno negativo così come la seconda eq. Evidentemente il metodo di Cartesio mi ha portato a malastrada 
Quindi la segnatura è (2,2), secondo la mia notazione...
Riguardo la base ortogonale cosa ne pensi? Ti sembra giusta?
Quindi la segnatura è (2,2), secondo la mia notazione...Riguardo la base ortogonale cosa ne pensi? Ti sembra giusta?
Ho trovato la stessa identica base ortogonale. Di fatto se non ricordo male, quei vettori non hanno tutti norma unitaria. Comunque l'ho ottenuta decomponendo $RR^4$ in somma ortogonale proprio di quei vettori.
Anche perché se la segnatura fosse $(4,1)$ avresti che $Det(D)<0$
Sappiamo che esiste una base ortogonale e dunque esiste $P$ invertibile tele che,
$P^tAP=D=> Det|D|=Det(P^tAP)=Det^2(P)Det(A)$
Passando ai segni si ha che $sign(Det(A))=sign(Det(D))$
E se controlli hai $Det(A)>0$
Anche perché se la segnatura fosse $(4,1)$ avresti che $Det(D)<0$
Sappiamo che esiste una base ortogonale e dunque esiste $P$ invertibile tele che,
$P^tAP=D=> Det|D|=Det(P^tAP)=Det^2(P)Det(A)$
Passando ai segni si ha che $sign(Det(A))=sign(Det(D))$
E se controlli hai $Det(A)>0$
"anto_zoolander":
E se controlli hai $Det(A)>0$
Si, ottengo $det(A)=4$.
Grazie mille!
Salve,
Volevo chiedervi se questo esercizio sulla segnatura è corretto.
Sia $\phi_k : RR^4 xx RR^4 to RR$ applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata
$B_k=((1,k,0,0),(k,1,0,0),(0,0,k,-k),(0,0,-k,1))$.
Calcolare la segnatura di $\phi_k$ al variare di $k in RR$.
Applico il metodo dei minori principali e ottengo
$D_1=1$
$D_2= 1-k^2$
$D_3= k(1-k^2)$
$D_4=k(1-k^2)^2$
La matrice $B'_k$ sarà data da
$B'_k=((D_1,0,0,0),(0,D_2/D_1, 0,0),(0,0,D_3/D_2,0),(0,0,0,D_4/D_3))=((1,0,0,0),(0,1-k^2,0,0),(0,0,k,0),(0,0,0,1-k^2))$
Studiando i segni degli elementi nella diagonale ottengo:
-$D_1=1$ quindi è sempre positivo;
-$D_2/D_1=1-k^2$ che sarà positivo per $-1
-$D_4/D_3=1-k^2$ che sarà positivo per $-1
Riportando i valori in un grafico ottengo le segnature, ossia: [PS: la segnatura il mio prof la vuole espressa come $(p,n)$ dove p sono gli autovalori positivi e n quelli negativi]
- per $k<-1$ la segnatura è $(1,3)$
- per $-1
Adesso analizzo il valore della segnatura nei singoli punti trovati, e ottengo:
- per $k=-1$: $(1,0)$;
- per $k=0$: $(3,0)$;
- per $k=1$: $(2,0)$.
E' giusto?
Grazie!
Volevo chiedervi se questo esercizio sulla segnatura è corretto.
Sia $\phi_k : RR^4 xx RR^4 to RR$ applicazione bilineare simmetrica che rispetto alla base canonica di $RR^4$ ha matrice associata
$B_k=((1,k,0,0),(k,1,0,0),(0,0,k,-k),(0,0,-k,1))$.
Calcolare la segnatura di $\phi_k$ al variare di $k in RR$.
Applico il metodo dei minori principali e ottengo
$D_1=1$
$D_2= 1-k^2$
$D_3= k(1-k^2)$
$D_4=k(1-k^2)^2$
La matrice $B'_k$ sarà data da
$B'_k=((D_1,0,0,0),(0,D_2/D_1, 0,0),(0,0,D_3/D_2,0),(0,0,0,D_4/D_3))=((1,0,0,0),(0,1-k^2,0,0),(0,0,k,0),(0,0,0,1-k^2))$
Studiando i segni degli elementi nella diagonale ottengo:
-$D_1=1$ quindi è sempre positivo;
-$D_2/D_1=1-k^2$ che sarà positivo per $-1
-$D_4/D_3=1-k^2$ che sarà positivo per $-1
Riportando i valori in un grafico ottengo le segnature, ossia: [PS: la segnatura il mio prof la vuole espressa come $(p,n)$ dove p sono gli autovalori positivi e n quelli negativi]
- per $k<-1$ la segnatura è $(1,3)$
- per $-1
Adesso analizzo il valore della segnatura nei singoli punti trovati, e ottengo:
- per $k=-1$: $(1,0)$;
- per $k=0$: $(3,0)$;
- per $k=1$: $(2,0)$.
E' giusto?
Grazie!
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