Esercizio risoluzione sistema lineare con Rouchè - Capelli (

[schianom]

Sia  lambda appartenente a R; si consideri il sistema:

x appartenente a R4
x1 + 2x2 - 2x3 - 3x4 = 3
2x1 + x2 + 2x3 - 9x4 = lambda
x1 + 3x2 - 4x3 - 2x4 = 5

Si dica per quali lambda sia risolubile, e per tali lambda lo si risolva con il metodo del rango.

Qualcuno sa spiegarmi in modo comprensibile come si procede alla risoluzione di questo tipo di esercizi? Grazie a chi risponderà!

[_prime_number]

http://www.matematicamente.it/forum/guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095.html
Qui è spiegato tutto. In futuro, ti prego di usare il sistema per scrivere le formule (vedi topic apposito ne Il nostro forum).

Paola

[schianom]

Sono nuovo e mi sono appena registrato..devo imparare a fare tutto e nel frattempo imparare a fare questi esercizi visto che ho un esame! Se si può fare un eccezione vi prego di rispondere cosi...

[_prime_number]

Ci vogliono 5 minuti ad imparare: il concetto è "racchiudi le formule tra due simboli di dollari". E' una questione di rispetto, non credi?

Paola

[schianom]

Qui invece il problema è il seguente...ho questo sistema:

$\{(x1 + 2x2 - 2x3 - 3x4 = 3),(2x1 + x2 + 2x3 - 9x4 = k),(x1 + 3x2 - 4x3 - 2x4 = 5):}$

Devo stabilire per quali k è risolubile e poi risolverlo con Rouchè-Capelli...io ho fatto cosi..ho calcolato il rango della matrice incompleta: scegliendo il primo minore 3x3 ho visto che ha determinante diverso da 0 e quindi ho concluso che il rango è 3. Dopodichè ho calcolato (in forma parametrica) il rango della matrice completa e ho risolto il determinante di un minore che comprendeva la colonna con il parametro k per vedere per quali valori esso era diverso da zero e quindi risultasse rango 3..il problema è che cambiando minore, cambia il determinante e quindi i valori di k da escludere: come riesco a trovarli tutti? e poi l'esercizio è finito? grazie...

[_prime_number]

Se il rango della matrice incompleta è $3$ anche quello della completa lo è in questo caso, basta usare lo stesso minore.

Paola

[schianom]

Ah..si può usare anche lo stesso? Allora prima faccio cosi e poi dico che il sistema è risolubile per ogni k allora? Si fa sempre cosi? Grazie..

[_prime_number]

Certo che si può usare lo stesso. Il punto è questo: prendiamo sempre il caso di un sistema a 3 equazioni e 4 incognite, come il tuo esempio. Se per caso il rango della matrice incompleta ti veniva indipendente da $k$ e strettamente minore di $3$ allora per studiare quello della completa avresti dovuto coinvolgere i termini noti (cioè l'ultima colonna), perché avrebbe potuto venire $3$, chissà! Ma qui più di $3$ non può essere, quindi $k$ non entra in gioco.

Paola

PS. Ti raccomando di leggere il topic da me indicato, perché offre un metodo di soluzione dei sistemi molto schematico... e se lo applichi dopo alcuni esercizi diventi imbattibile.

[schianom]

Perfetto....l'ho letto, grazie! Ma non c'era la mia situazione e l'ho lasciato stare.....avrei altri esercizi da postare ma stavolta non so davvero da dove partire perchè non so proprio come si risolvono...come posso fare?

[schianom]

Quindi è risolubile per ogni k, è giusto? E cosa significa allora "risolverlo con il metodo del rango"? E inoltre, nel testo, le richieste non dovrebbero essere invertite ovvero prima "risolverlo con il metodo del rango" e poi "stabilire per quali k sia risolubile"? Thk

[_prime_number]

Ha infinite soluzioni per ogni $\lambda$ ($\infty^{5-3}=\infty^2$ soluzioni). Non ho mai sentito nominare il "metodo del rango" sinceramente... ma per trovare la soluzione segui le istruzioni del topic indicato. Ci sono anche degli esempi.

Paola

[schianom]

Ok! Ma come fai a dire che ci sono infinito quadro soluzioni?
Puoi rispondermi inoltre all'altro argomento che è rimasto in sospeso? Grazie!
E per questi altri esercizi che devo postare come posso fare? Posso mandarti un link? Non so proprio da dove iniziare e visto che sei gentilissima ne vorrei approfittare...