Esercizio risolto di algebra lineare

[Avocaldo]

Buonasera,

sono alle prese con l'esame di geometria e algebra lineare. Sto tentando di fare un esercizio risolto, di cui pero' non capisco la soluzione. Lavoro e spesso sono fuori citta', non ho contatti ne' con professori ne' con studenti, studio un po' quando riesco. a spizzichi e bocconi. Questo esame mi sembra un ostacolo insormontabile . Qualcuno riuscirebbe a spiegarmi perche' questo esercizio e' stato risolto in questo modo? Si rifa' a qualche teorema della teoria che mi sfugge? Perche' tira fuori la base $B$? Come arrivo a intuire che devo sommare tra di loro i vettori di questa base? Non capisco quale sia la logica...



Data la forma quadratica $Q(x) = x_2^2 + x_3^2 - 4 x_1*x_4 $
Determinare una base $C$ di $RR^4$ formata da vettori isotropi. Sia $B$ la matrice associata a $Q$ rispetto a tale base $C$. Cosa si puo' dire degli elementi sulla diagonale principale di $B$?

Soluzione:

Si consideri la forma quadratica Q scritta in forma normale:

$Q(x) = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_4^2 $

con $(z_1,z_2,z_3,z_4)$ componenti del vettore $x$ rispetto alla base $B = (f_1,f_2,f_3,f_4)$, ovvero
$B = (f_1 = (0,1,0,0), f_2 = (0,0,1,0), f_3 = (1/2, 0,0-1/2), f_4 = (1/2,0,0,1/2))$

I vettori
$a_1= f_1 + f_2$
$a_2= f_2 + f_4$
$a_3= f_3 + f_4$
$a_4= f_3 - f_4$
sono 4 vettori isotropi linearmente indipendenti, pertanto $C = (a_1,a_2,a_3,a_4)$ e' una base formata da vettori isotropi.

Grazie, a voi la parola.

[Bokonon]

Ma se $a_1=((0),(1),(1),(0))$ è isotropo, sostituendolo in Q(x) non dovrebbe dare zero?

[Avocaldo]

Certo. Ma sulla base di quale ragionamento devo capire che sommando tra loro i vettori f ottengo una base di vettori isotropi?