Esercizio retta perpendicolare

[Blitzcrank97]

Scrivere la retta passante per (1, 2, 1) perpendicolare a <(1, 1, 1),(1, −1, 1)>

Come si svolge un esercizio del genere? Io so fare una retta perpendicolare ad un piano ma <(1, 1, 1),(1, −1, 1)> è un sottospazio giusto? Come si fa in questo caso?

[Blitzcrank97]

Forse ho capito: devo trovare prima l'equazione del piano formato dai vettori del sottospazio e poi imporre la perpendicolarità con la retta passante per il punto?

Come si trova quindi il piano generato da quei due vettori?

[Ernesto011]

$<(1,1,1),(1,-1,1)>$ è un piano. Un piano in $R^3$ è un sottospazio vettoriale di dimensione $2$, una retta è un sottospazio vettoriale di dimensione $1$

[Blitzcrank97]

E come lo trovo quel piano dati i due vettori?

[Ernesto011]

Ci sono tantissimi modi.
Trovi 3 punti , per esempio $A=(1,1,1) B=(1,-1,1) C=(0,0,0)$ e poi fai il piano passante per 3 punti
Trovi il vettore normale, che è $n=v_1 xx v_2$ e poi ricordando che il piano ha equazione $ax+by+cz+d=0$ e il vettore normale al piano è $(a,b,c)$ puoi trovare i valori di $a,b,c$ ($d=0$, il piano passa per l'origine)
Oppure puoi scrivere il piano nella forma $pi:v_1lambda_1+v_2lambda_2$ e quindi ottieni le 3 equazioni:
1) $x=lambda_1+lambda_2$
2) $y=lambda_1-lambda_2$
3) $z=lambda_1+lambda_2$

Che messe a sistema ricavando $lambda_1$ nella prima e poi $ lambda_2$ nella seconda e poi sostituendole nella terza ti danno l'equazione del piano

[Blitzcrank97]

Potresti farmi vedere come risolverlo con i vettori dati? Perché quando lo faccio mi torna un sistema impossibile :/
la soluzione è:
r: (1, 2, 1) + t(2, 1, 2)

[Ernesto011]

Il metodo più veloce è sicuramente $n=v_1xxv_2=(2,0,-2)$ e quindi $r: (1, 2, 1) + t(2, 0, -2)$. Sei sicuro che i dati e la soluzione che hai dato sono giusti?

[Blitzcrank97]

Ok si c'era un errore nella soluzione! Quella giusta è (1,2,1) + t(1,0,-1) che essendo multiplo di (2,0,-2) rappresenta la retta perpendicolare, grazie mille!