Esercizio retta e piano
Buongiorno,
Ho un problema con un esercizio banale, ma di cui non riesco a venire a capo.
Il testo è il seguente:
Si riferisca lo spazio ad una terna levogira cartesiana ortogonale. Siano assegnate i vettori:
u=2i+2j+2k e v=i+2j-k
Si scriva l'equazione del piano Pigreco passante per O e parallelo ad u e v, e l'equazione della retta r che giace su Pigreco, passa per O ed è ortogonale ad u.
Io ho calcolato, attraverso il prodotto vettoriale dei due vettori assegnati, la normale al piano ed ho ricavato l'equazione del piano Pigreco che dovrebbe essere: -6x+4y+2z=0
Non riesco a trovare l'equazione della retta r, indicata nella seconda parte del testo. A me interessa in forma parametrica, ed avevo pensato ad usare gli stessi coefficienti del piano, essendo la retta perpendicolare ad u, ma poi mi son reso conto che deve giacere sul piano, e così facendo, sceglierei soltanto una retta parallela alla normale al piano. Come posso fare?
Vi ringrazio.
Ho un problema con un esercizio banale, ma di cui non riesco a venire a capo.
Il testo è il seguente:
Si riferisca lo spazio ad una terna levogira cartesiana ortogonale. Siano assegnate i vettori:
u=2i+2j+2k e v=i+2j-k
Si scriva l'equazione del piano Pigreco passante per O e parallelo ad u e v, e l'equazione della retta r che giace su Pigreco, passa per O ed è ortogonale ad u.
Io ho calcolato, attraverso il prodotto vettoriale dei due vettori assegnati, la normale al piano ed ho ricavato l'equazione del piano Pigreco che dovrebbe essere: -6x+4y+2z=0
Non riesco a trovare l'equazione della retta r, indicata nella seconda parte del testo. A me interessa in forma parametrica, ed avevo pensato ad usare gli stessi coefficienti del piano, essendo la retta perpendicolare ad u, ma poi mi son reso conto che deve giacere sul piano, e così facendo, sceglierei soltanto una retta parallela alla normale al piano. Come posso fare?
Vi ringrazio.
Risposte
Ho trovato questa possibile risoluzione al problema, ma non capisco come il prodotto tra t ed u (versore) mi garantisca la perpendicolarità della retta rispetto ad u. 
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Ho trovato questa possibile risoluzione al problema, ma non capisco come il prodotto tra t ed u(versore) garantisca la perpendicolarità della retta rispetto ad u. 
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Ciao Nysap, benvenuto nel forum.
Prese le due direzioni $(1,1,1)$ (visto che ci interessa solo la direzione, il vettore $(2,2,2)$ si può semplificare) e $(1,2,-1)$, il piano $pi$ è dato dalle loro combinazioni lineari:
$ pi:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+t( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) ) $
da cui si ricava l'equazione cartesiana.
Questo come concetto generale: nel particolare, visto che siamo in $R^3$, tanto vale trovare un vettore perpendicolare ad entrambe le direzioni. Le sue componenti sono i coefficienti del piano $ax+by+cz=0$
Quindi facendo il prodotto vettoriale $ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , 2 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ) |=3hat(i)-2hat(j)-hat(k) $ da cui $pi:3x-2y-z=0$ (che è il piano che hai trovato).
Il piano perpendicolare a $u$ ha come coefficienti la direzione $u$, quindi è $rho:x+y+z=0$
La retta deve trovarsi su $pi$ ed essere perpendicolare a $u$, quindi è data dall'intersezione di $pi$ e $rho$.
$ r:{ ( 3x-2y-z=0 ),( x+y+z=0 ):} $
Parametrizzando si ottiene $ r:{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 1 ),( 4 ),( -5 ) ) $
e come puoi verificare, la direzione è perpendicolare ad $u$ e i suoi punti si trovano su $pi$
Prese le due direzioni $(1,1,1)$ (visto che ci interessa solo la direzione, il vettore $(2,2,2)$ si può semplificare) e $(1,2,-1)$, il piano $pi$ è dato dalle loro combinazioni lineari:
$ pi:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+t( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) ) $
da cui si ricava l'equazione cartesiana.
Questo come concetto generale: nel particolare, visto che siamo in $R^3$, tanto vale trovare un vettore perpendicolare ad entrambe le direzioni. Le sue componenti sono i coefficienti del piano $ax+by+cz=0$
Quindi facendo il prodotto vettoriale $ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , 2 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ) |=3hat(i)-2hat(j)-hat(k) $ da cui $pi:3x-2y-z=0$ (che è il piano che hai trovato).
Il piano perpendicolare a $u$ ha come coefficienti la direzione $u$, quindi è $rho:x+y+z=0$
La retta deve trovarsi su $pi$ ed essere perpendicolare a $u$, quindi è data dall'intersezione di $pi$ e $rho$.
$ r:{ ( 3x-2y-z=0 ),( x+y+z=0 ):} $
Parametrizzando si ottiene $ r:{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 1 ),( 4 ),( -5 ) ) $
e come puoi verificare, la direzione è perpendicolare ad $u$ e i suoi punti si trovano su $pi$
"Bokonon":
Ciao Nysap, benvenuto nel forum.
Prese le due direzioni (1,1,1) (visto che ci interessa solo la direzione, il vettore (2,2,2) si può semplificare) e (1,2,−1), il piano π è dato dalle loro combinazioni lineari:
π:⎧⎩⎨⎪⎪⎛⎝⎜xyz⎞⎠⎟=s⎛⎝⎜111⎞⎠⎟+t⎛⎝⎜12−1⎞⎠⎟
da cui si ricava l'equazione cartesiana.
Questo come concetto generale: nel particolare, visto che siamo in R3, tanto vale trovare un vettore perpendicolare ad entrambe le direzioni. Le sue componenti sono i coefficienti del piano ax+by+cz=0
Quindi facendo il prodotto vettoriale ∣∣∣∣∣iˆ11jˆ21kˆ−11∣∣∣∣∣=3iˆ−2jˆ−kˆ da cui π:3x−2y−z=0 (che è il piano che hai trovato).
Il piano perpendicolare a u ha come coefficienti la direzione u, quindi è ρ:x+y+z=0
La retta deve trovarsi su π ed essere perpendicolare a u, quindi è data dall'intersezione di π e ρ.
r:{3x−2y−z=0x+y+z=0
Parametrizzando si ottiene r:⎧⎩⎨⎪⎪⎛⎝⎜xyz⎞⎠⎟=t⎛⎝⎜14−5⎞⎠⎟
e come puoi verificare, la direzione è perpendicolare ad u e i suoi punti si trovano su π
Ok, questo è l'unico metodo utilizzabile? Io avevo anche pensato a trovare l'equazione del piano perpendicolare al vettore u, ma non avevo pensato a mettere a sistema con l'equazione del piano in mio possesso.
P.S. Per parametrizzare che criterio hai usato?
P.P.S.: Scusa se linko un altro forum, ma ho trovato questo esercizio https://www.****.it/forum/algebra-li ... retta.html che mi sembra analogo, sapresti dirmi se davvero è analogo o in cosa differisce? Io non riesco a capire il passaggio dove parla delle due sole possibilità. Inoltre, fa il prodotto scalare tra il piano e la direzione del vettore, per verificare che siano perpendicolari e avvalorare la sua tesi, secondo cui non esistono rette come quella cercata, ma perchè? E perchè, se provo io, mi risulta che il mio vettore u è perpendicolare al piano Pigreco [(2,2,2)*(-6,4,2)=-12+8+4=0]? Non dovrebbe risultarmi parallelo?
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