Esercizio retrazione
per ogni $n$ sia $D^n sube R^n$ il disco di raggio unitario. devo stabilire se $AA k
perchè secondo me si potrebbe dire che entrambi gli spazi sono contraibili, pertanto il gruppo fondamentale è banale, quindi hanno gruppo isomorfo, e quindi $D^k-{0}$ è retratto di deformazione...sul retratto avrei qualche difficoltà
so anche il teorema sull'omologia della coppia che dice. se $A sube X$ è un retratto allora
$H_q(X)$ è isomorfo a $H_q(A) + H_q(X,A)$ dove + è la somma diretta..
grazie in anticipo
perchè secondo me si potrebbe dire che entrambi gli spazi sono contraibili, pertanto il gruppo fondamentale è banale, quindi hanno gruppo isomorfo, e quindi $D^k-{0}$ è retratto di deformazione...sul retratto avrei qualche difficoltà
so anche il teorema sull'omologia della coppia che dice. se $A sube X$ è un retratto allora
$H_q(X)$ è isomorfo a $H_q(A) + H_q(X,A)$ dove + è la somma diretta..
grazie in anticipo
Risposte
No no, aspetta un po'... A me non pare proprio nemmeno lontanamente che [tex]D^k \setminus \{0\}[/tex] sia contraibile!
E poi, scusa, come faresti a dedurre dal fatto che il primo gruppo fondamentale è banale il fatto che uno dei due è retratto di deformazione dell'altro???!
Facciamo ad esempio il caso [tex]n = 3, k = 2[/tex]. Se [tex]D^2 \setminus \{0\}[/tex] fosse retratto di deformazione di [tex]D^3 \setminus \{0\}[/tex] i loro gruppi di omologia sarebbero isomorfi. Ma il primo si retrae deformandosi su una circonferenza ed il secondo su una sfera. Quindi direi proprio che non può essere vero.
In generale, visto che retratto di deformazione implica retratto, basta dimostrare che non [tex]D^k \setminus \{0\}[/tex] non può essere retratto di [tex]D^n \setminus \{0\}[/tex]. Ma se lo fosse avremmo un'inclusione [tex]H_p(D^k \setminus \{0\}) \subset H_p(D^n \setminus \{0\})[/tex] per ogni [tex]p[/tex], il che è ovviamente assurdo non appena si prenda [tex]p = k[/tex] (infatti [tex]H_p(D^k \setminus \{0\}) = \mathbb Z[/tex] e [tex]H_p(D^n \setminus \{0\}) = 0[/tex]).
E poi, scusa, come faresti a dedurre dal fatto che il primo gruppo fondamentale è banale il fatto che uno dei due è retratto di deformazione dell'altro???!
Facciamo ad esempio il caso [tex]n = 3, k = 2[/tex]. Se [tex]D^2 \setminus \{0\}[/tex] fosse retratto di deformazione di [tex]D^3 \setminus \{0\}[/tex] i loro gruppi di omologia sarebbero isomorfi. Ma il primo si retrae deformandosi su una circonferenza ed il secondo su una sfera. Quindi direi proprio che non può essere vero.
In generale, visto che retratto di deformazione implica retratto, basta dimostrare che non [tex]D^k \setminus \{0\}[/tex] non può essere retratto di [tex]D^n \setminus \{0\}[/tex]. Ma se lo fosse avremmo un'inclusione [tex]H_p(D^k \setminus \{0\}) \subset H_p(D^n \setminus \{0\})[/tex] per ogni [tex]p[/tex], il che è ovviamente assurdo non appena si prenda [tex]p = k[/tex] (infatti [tex]H_p(D^k \setminus \{0\}) = \mathbb Z[/tex] e [tex]H_p(D^n \setminus \{0\}) = 0[/tex]).
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