Esercizio relazione di equivalenza e spazi topologici quoziente

[Desirio]

Sia $~$ la relazione di equivalenza su $R$ tale per cui $x ~ y$ se e solo se $x - y \in Q$.
Descrivere gli aperti dello spazio quoziente $R / ~$.
$R$ ha la topologia euclidea standard.

Non saprei come procedere.. Ovvero, $x,y$ sono in relazione se $x = y + m/n$ con $m,n \in Z$.
Quindi pensavo che tutti i numeri razionali fossero equivalenti... E rimanevano fuori tutti gli irrazionali.

Quindi la relazione di equivalenza mi forma un insieme $R/~$ costituito da $ [0] \cup I $ dove [0] è la classe di equivalenza di tutti i razionali e $I$ è l'insieme degli irrazionali...

Sia $\pi: R \rightarrow R / ~$.

Prendo un sottoinsieme $U$ di $[0] \cup I$ e dico che è aperto se $\pi^{-1}(U)$ è aperta in $R$ con la topologia euclidea...

Quindi supponiamo che $U = [0]$. Allora $\pi^{-1}(U) = Q$. $Q$ è aperto o no in $R$? Penso di si perchè per ogni punto razionale posso trovare un aperto euclideo che lo contiene contenuto in $Q$ interamente, essendo $Q$ denso in $R$.

Se $U = [0] \cup I$ allora $pi^{-1}(U) = R$ che è aperto...

Se $U = I1$ con $I1 \subseteq I$ allora $pi^{-1}(U)$ non è aperto in $R$...

Se $U = [0] \cup I2$ con $I2 \subseteq I$ allora $pi^{-1}(U) = Q \cup {i1, i2 ,... }$ con $i_i \in I$ ...

Quindi gli aperti di questo spazio quoziente sarebbero $[0] \cup I1$ e $[0]$ con $I1$ sottoinsieme degli irrazionali.

Ora smetto di dire cavolate...

E mi fate sapere se il ragionamento potrebbe essere giusto, o come procedere a grandi linee? Grazie...

[apatriarca]

Nota che preso un numero irrazionale come \(x = \pi\) hai che questo è in relazione con numeri come \(y = \pi + q\) per ogni \(q \in \mathbb Q\)... Non è quindi corretto affermare che i numeri irrazionali sono tutti in classi di equivalenza distinte. Inoltre \(\mathbb Q\) NON è un aperto con la topologia euclidea in quanto ogni palla contenente un numero razionale contiene almeno un numero irrazionale e non è quindi contenuta propriamente nei razionali. Per vederlo basta considerare una palla di raggio \(\delta\) intorno a un numero \(q\) e considerare \(q + \delta\,\sqrt{2}/2\). Lo stesso discorso vale per ogni altra classe di equivalenza nel tuo esempio.

Siccome ogni classe di equivalenza è densa in \(\mathbb R,\) l'unico aperto che contiene almeno una delle classi di equivalenza è tutto \(\mathbb R\) che le contiene quindi tutte. In altre parole la topologia dovrebbe essere quella banale.