Esercizio "spazio somma generato da due rette" e domanda su rette sghembe
Salve a tutti. Ho un esercizio in cui mi dice di trovare lo spazio somma generato da due rette
date mediante equazioni parametriche. le due rette sono r ed s
r : x=2t, y = 3t, z=t
s: x= - t, y= - 3t , z= - 2 t
Volevo sapere se è corretto come ho svolto la richiesta.
r : ( 2t , 3t, t) = t ( 2, 3 , 1) = < (2,3,1)>
s: (-t, -3t, -2t) = t ( -1, -3, -2) = < -1 , -3 -2) >
cioè ho scritto le rette come sottospazi generati da quelle terne.
E quindi ho completato dicendo che lo spazio somma è
r + s : < (2,3,1) + (-1,-3-2)> = < (1, 0 -1) >
E' corretto? altrimenti come si determina lo spazio somma?
Inoltre esiste un'interpetazione geometrica di ciò? cosa rappresenta lo spazio somma
generato da 2 rette? Sul libro non ho trovato nulla su questo.
Poi per verificare se due rette sono sghembre o meno e sufficiente calcolare il determinante
4 x 4 della matrice con i coefficienti e verificare che viene diverso da zero?
Oppure questo non basta
date mediante equazioni parametriche. le due rette sono r ed s
r : x=2t, y = 3t, z=t
s: x= - t, y= - 3t , z= - 2 t
Volevo sapere se è corretto come ho svolto la richiesta.
r : ( 2t , 3t, t) = t ( 2, 3 , 1) = < (2,3,1)>
s: (-t, -3t, -2t) = t ( -1, -3, -2) = < -1 , -3 -2) >
cioè ho scritto le rette come sottospazi generati da quelle terne.
E quindi ho completato dicendo che lo spazio somma è
r + s : < (2,3,1) + (-1,-3-2)> = < (1, 0 -1) >
E' corretto? altrimenti come si determina lo spazio somma?
Inoltre esiste un'interpetazione geometrica di ciò? cosa rappresenta lo spazio somma
generato da 2 rette? Sul libro non ho trovato nulla su questo.
Poi per verificare se due rette sono sghembre o meno e sufficiente calcolare il determinante
4 x 4 della matrice con i coefficienti e verificare che viene diverso da zero?
Oppure questo non basta
Risposte
I vettori (2,3,1) e (1,3,2) sono linearmente indipendenti perché la matrice che li ha per righe ha rango =2.
Pertanto lo spazio somma è dato da Span{(2,3,1), (1,3,2)}. [<1,0,-1> è solo una particolare combinazione lineare di tali vettori, ma non mi pare che importi qualcosa ]
Quanto alla interpretazione geometrica è semplice. Basta osservare che le due rette sono incidenti nell'origine degli assi
( è sufficiente porre t=0 nelle loro equazioni). E poiché esse non sono sovrapposte ( perché il rango è due e quindi le due rette non coincidono), puoi concludere che la somma di dette rette è un piano [di equazione $x-y+z=0$]
Pertanto lo spazio somma è dato da Span{(2,3,1), (1,3,2)}. [<1,0,-1> è solo una particolare combinazione lineare di tali vettori, ma non mi pare che importi qualcosa ]
Quanto alla interpretazione geometrica è semplice. Basta osservare che le due rette sono incidenti nell'origine degli assi
( è sufficiente porre t=0 nelle loro equazioni). E poiché esse non sono sovrapposte ( perché il rango è due e quindi le due rette non coincidono), puoi concludere che la somma di dette rette è un piano [di equazione $x-y+z=0$]
E poiché esse non sono sovrapposte ( perché il rango è due e quindi le due rette non coincidono), puoi concludere che la somma di dette rette è un piano [di equazione x−y+z=0]
Piano generato dal vettore ortogonale a $(2,3,1)$ e $(1,3,2)$... cioè da $(1,-1,1)$ (da cui l'equazione del piano scritta da ciromario)
A volte le cose sono più immediate. Per esempio nel nostro caso ho semplicemente osservato che i due punti
(2,3,1) e (1,3,2) hanno entrambi la seconda coordinata uguale alla somma delle altre due.
Ovvero : $y=x+z$, da cui si ricava l'equazione del piano :
$x-y+z=0$
(2,3,1) e (1,3,2) hanno entrambi la seconda coordinata uguale alla somma delle altre due.
Ovvero : $y=x+z$, da cui si ricava l'equazione del piano :
$x-y+z=0$
:rolleyes:
E' vero!
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