Esercizio "particolare" sulla curvatura

[Alexp1]

Ciao a tutti!!! vi propongo un'esercizietto (a mio avviso carino) di GD che mi è venuto in mente..... , vediamo chi avrà voglia di cimentarsi...se nessuno dovesse intervenire posterò io tra qualche giorno la soluzione!

Sia $k:I->RR$ una funzione di classe $C^infty$ tale che $k(s)>0$ per ogni $s \in I \sube RR$.
Scelto $s_0 \in I$, definiamo $\theta:I->RR$ ponendo $\theta(s)=\int_(s_0)^s k(t)*dt.
Dati $a,b \in RR$, sia infine $\sigma:I->RR^2$ data da: $\sigma(s)=(\int_(s_0)^s cos(\theta*t)*dt+a, \int_(s_0)^s sin(\theta*t)*dt+b)$.

Dimostrare che $\sigma$ è una curva regolare parametrizzata alla lunghezza d'arco con curvatura $k$ e tale che $\sigma(s_0)=(a,b)$.

[Alexp1]

Non avendo ricevuto riscontro, posto io la soluzione, ma sotto spoiler, sia mai che qualcuno abbia comunque voglia di cimentarsi!

Essendo che $k$ è $C^infty$, anche $\sigma$ lo è.
Derivando l'espressione di $\sigma$ otteniamo che:

$\sigma'(s)=(cos(\theta(s)), sin(\theta(s)))$.

Dunque

$||\sigma'(s)||= sqrt(cos^2(\theta(s))+sin^2(\theta(s)))=1$ $AAs \in I$.

Derivando ulteriormente otteniamo che:

$\sigma''(s)=(-\theta'(s)*sin(\theta(s)), \theta'(s)*cos(\theta(s)))

e ricordando la definizione data di $\theta$

$||\sigma''(s)||=sqrt(\theta'^2(s)*sin^2(\theta(s)), \theta'^2(s)*cos^2(\theta(s)))=k(s)$.

Dove abbiamousato che $k(s)>0$ e quindi $sqrt(k^2(s))=||k(s)||=k(s)$.

Inoltre, è immediato dalla definizione data di $\sigma$ che $\sigma(s_0)=(a,b)$.

[Alexp1]

Secondo Quesito

Siamo sempre nelle ipotesi del primo esercizio.
Trovare la curva piana regolare $\sigma:(0, +infty)->RR^2$ parametrizzata rispetto lunghezza d'arco tale che $\sigma(sqrt(2))=(1,0)$ e con curvatura $k(s)=1/s$.

Dai, è semplice semplice anche questo!

[gugo82]

Insomma qui si sta dicendo che ogni curva piana regolare è determinata (a meno di movimenti rigidi) univocamente dalla sua curvatura.
Questo è un fatto del tutto eccezionale, giacché se si considera una curva in spazi di dimensione maggiore, essa è univocamente determinata (sempre a meno di movimenti rigidi) dalle due funzioni $k(s)$ e $\tau (s)$, curvatura e torsione.

Noto inoltre che la stessa cosa cosa accade se al posto della curvatura si usa la curvatura con segno (che si può definire tranquillamente per curve piane). Se non ricordo male c'è un esercizio sul do Carmo in proposito.

[Alexp1]

Eh già!

Posto la soluzione sempre sotto spoiler.....

Essendo sempre nelle ipotesi del primo esercizio, è sufficiente definire:

$\theta(s)=\int_(s')^s(dt)/t$ e $\sigma(s)=(\int_(s_0)^scos(\theta(t))dt+a, \int_(s_0)^ssin(\theta(t))dt+b)$

per ottenere una curva regolare parametrizzata rispetto la lunghezza d'arco con curvatura $1/s$.

Resta da determinare $s_0, a$ e $b$ in modo che sia soddisfatto il vincolo rimanente.

$\sigma(s)=(\int_(sqrt(2))^s cos(ln(t/sqrt(2))+\pi/4)dt+1, \int_(sqrt(2))^ssin(ln(t/sqrt(2)+\pi/4)dt)$

oppure, equivalentemente:

$\sigma(s)=(s/sqrt(2)cos(ln(s/sqrt(2))), s/sqrt(2)sin(ln(s/sqrt(2))))$

[j18eos]

Inizio una parte del I quesito:

Premesso che la funzione [tex]$\theta$[/tex] è di classe [tex]$C^{\infty}$[/tex] in [tex]$I$[/tex], per costruzione e per il teorema fondamentale dell'analisi matematica(*), quindi [tex]$\sigma$[/tex] è una curva di classe [tex]$C^{\infty}$[/tex] in [tex]$I$[/tex]. Premesso ciò: [tex]$\forall s\in I,||\dot\sigma(s)||_2=\sqrt{\cos[\theta(s)\cdot s]^2+\sin[\theta(s)\cdot s]^2}=1>0$[/tex] per cui [tex]$\sigma$[/tex] è anche una curva regolare!

§§§

(*) Detto teorema di Leibnitz-Newton!

[j18eos]

Proseguo col I quesito:

banalmente [tex]$\sigma(s_0)=(a;b)$[/tex]. Non mi chiedete di dimostrarlo eh! -_- La lunghezza di [tex]$\sigma$[/tex] è data da [tex]$l(\sigma)=\int_{s_0}^{s}\big[||\dot\sigma(t)||_2\big]^2dt=\int_{s_0}^{s}dt=s-s_0$[/tex] per cui la rappresentazione data è "naturale"! Posso aggiungere che nel caso in cui [tex]$I$[/tex] sia un intervallo limitato tale curva sarebbe rettificabile.

P.S.: Al prossimo post concludo col I quesito!