Esercizio punti singolari e curva razionale, parametrizzazione
Salve,
mi sto allenando in vista dell'esame di Geometria 2. Tra i vari esercizi che il prof da durante il compito c'è questo che ho cercato di risolvere ma non ne sono convinta al 100%.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Nello spazio proiettivo $P_CC^3$ con coordinate omogenee $(x_0:x_1:x_2:x_3)$ si consideri la superficie algebrica irriducibile $S sub P^3$ avente equazione
$x_0^2x_3^2-6x_0x_1x_2x_3-3x_1^2x_2^2+4x_1^3x_3+4x_0x_2^3=0$
sia $\pi sub P^3$ il piano di equazione $x_1-x_2=0$ e sia $C=S nn \pi sub \pi$.
(a) Determinare e studiare i punti singolari della curva algebrica piana $C$.
(b) Provare che $C$ è una curva razionale e determinarne una parametrizzazione razionale.
Mi sono calcolata $C$ facendo sistema tra l'equazione di $S$ e quella del piano $\pi$ ottenendo così (dopo aver sostituito le coordinate omogenee date dal problema con $(x:y:z:t)$ solo per evitare errori)
$C : x^2z^2-6xz^2t+z^4+4xz^3=0$
Per trovare i punti singolari di questa curva mi calcolo la derivata parziale prima e la pongo uguale a zero e ottengo un solo punto singolare dato dalle coordinate $(3,0,0,1)$.
Ho un dubbio però su una cosa.
Il sistema di partenza che ho per trovare i punti singolari è questo:
$\{(z^2(x-3t+2z)=0),(x^2z-6xzt+2z^3+6xz^2=0),(-6xz^2 = 0):}$ e così distinguo i due casi
1. $\{(z^2 = 0),(x^2z-6xzt+2z^3+6xz^2=0),(-6xz^2 = 0):}$ che non mi da nessun punto singolare (giusto?)
2. $\{(x-3t+2z=0),(z(x^2-6xt+2z^2+6xz)=0),(-6xz^2 = 0):}$ che a sua volta si scompone in altri due casi
2.1 $\{(z=0),(x-3t=0),(0 = 0):}$ e da questa ottengo il punto singolare che ho detto sopra.
2.2 $\{(x-3t+2z=0),(x^2-6xt+2z^2+6xz=0),(-6xz^2 = 0):}$ dalla quale ottengo, guardando l'ultima equazione, altri 2 casi, uno per $x=0$ che non mi da punti singolari, e uno per $z=0$ che mi fa ottenere come sistema $\{(z=0),(x-6t=0),(x-3t= 0):}$ ma le ultime due equazioni mi danno due valori diversi di x in relazione alla t, quindi li ho scartati... E' giusto?
A questo punto studio la molteplicità dell'unico punto trovato e per farlo devo studiare le derivate successive. Così facendo ottengo che il punto P ha molteplicità 2.
Passando al punto (b) mi viene chiesto di provare che la curva è razionale. In questo caso, essendo in $CC$ devo mostrare che la molteplicità del punto singolare che ho trovato al punto (a) è uguale al grado dell'equazione della curva (cioè $d=4$) -1, cioè dovrei ottenere 3=3 per poter essere una curva razionale, ma io invece ottengo 2=3 che ovviamente non è possibile.
Dove ho sbagliato?
Grazie per l'aiuto e scusate il post lunghissimo
mi sto allenando in vista dell'esame di Geometria 2. Tra i vari esercizi che il prof da durante il compito c'è questo che ho cercato di risolvere ma non ne sono convinta al 100%.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Nello spazio proiettivo $P_CC^3$ con coordinate omogenee $(x_0:x_1:x_2:x_3)$ si consideri la superficie algebrica irriducibile $S sub P^3$ avente equazione
$x_0^2x_3^2-6x_0x_1x_2x_3-3x_1^2x_2^2+4x_1^3x_3+4x_0x_2^3=0$
sia $\pi sub P^3$ il piano di equazione $x_1-x_2=0$ e sia $C=S nn \pi sub \pi$.
(a) Determinare e studiare i punti singolari della curva algebrica piana $C$.
(b) Provare che $C$ è una curva razionale e determinarne una parametrizzazione razionale.
Mi sono calcolata $C$ facendo sistema tra l'equazione di $S$ e quella del piano $\pi$ ottenendo così (dopo aver sostituito le coordinate omogenee date dal problema con $(x:y:z:t)$ solo per evitare errori)
$C : x^2z^2-6xz^2t+z^4+4xz^3=0$
Per trovare i punti singolari di questa curva mi calcolo la derivata parziale prima e la pongo uguale a zero e ottengo un solo punto singolare dato dalle coordinate $(3,0,0,1)$.
Ho un dubbio però su una cosa.
Il sistema di partenza che ho per trovare i punti singolari è questo:
$\{(z^2(x-3t+2z)=0),(x^2z-6xzt+2z^3+6xz^2=0),(-6xz^2 = 0):}$ e così distinguo i due casi
1. $\{(z^2 = 0),(x^2z-6xzt+2z^3+6xz^2=0),(-6xz^2 = 0):}$ che non mi da nessun punto singolare (giusto?)
2. $\{(x-3t+2z=0),(z(x^2-6xt+2z^2+6xz)=0),(-6xz^2 = 0):}$ che a sua volta si scompone in altri due casi
2.1 $\{(z=0),(x-3t=0),(0 = 0):}$ e da questa ottengo il punto singolare che ho detto sopra.
2.2 $\{(x-3t+2z=0),(x^2-6xt+2z^2+6xz=0),(-6xz^2 = 0):}$ dalla quale ottengo, guardando l'ultima equazione, altri 2 casi, uno per $x=0$ che non mi da punti singolari, e uno per $z=0$ che mi fa ottenere come sistema $\{(z=0),(x-6t=0),(x-3t= 0):}$ ma le ultime due equazioni mi danno due valori diversi di x in relazione alla t, quindi li ho scartati... E' giusto?
A questo punto studio la molteplicità dell'unico punto trovato e per farlo devo studiare le derivate successive. Così facendo ottengo che il punto P ha molteplicità 2.
Passando al punto (b) mi viene chiesto di provare che la curva è razionale. In questo caso, essendo in $CC$ devo mostrare che la molteplicità del punto singolare che ho trovato al punto (a) è uguale al grado dell'equazione della curva (cioè $d=4$) -1, cioè dovrei ottenere 3=3 per poter essere una curva razionale, ma io invece ottengo 2=3 che ovviamente non è possibile.
Dove ho sbagliato?
Grazie per l'aiuto e scusate il post lunghissimo
Risposte
Quella che tu chiami \(\displaystyle C\) è una superficie;
tu devi studiare la curva data dal sistema di equazioni:
\[
\begin{cases}
x_0^2x_3^2-6x_0x_1x_2x_3-3x_1^2x_2^2+4x_1^3x_3+4x_0x_2^3=0\\
x_1-x_2=0
\end{cases}.
\]
Tramite un cambio di coordinate omogenee, puoi mandare \(\displaystyle\pi\) in \(\displaystyle\{t=0\}\) nelle nuove coordinate omogenee \(\displaystyle[x:y:z:t]\); dopodiché, ti calcoli l'equazione della curva piana \(\displaystyle C\) nelle nuove coordinate, ignorando, per l'appunto, la coordinata \(\displaystyle t\).
tu devi studiare la curva data dal sistema di equazioni:
\[
\begin{cases}
x_0^2x_3^2-6x_0x_1x_2x_3-3x_1^2x_2^2+4x_1^3x_3+4x_0x_2^3=0\\
x_1-x_2=0
\end{cases}.
\]
Tramite un cambio di coordinate omogenee, puoi mandare \(\displaystyle\pi\) in \(\displaystyle\{t=0\}\) nelle nuove coordinate omogenee \(\displaystyle[x:y:z:t]\); dopodiché, ti calcoli l'equazione della curva piana \(\displaystyle C\) nelle nuove coordinate, ignorando, per l'appunto, la coordinata \(\displaystyle t\).
Grazie per la risposta.
Io ho risolto quel sistema ed ho ottenuto infatti l'equazione che ho scritto.
E dopo iniziano i dubbi
Io ho risolto quel sistema ed ho ottenuto infatti l'equazione che ho scritto.
E dopo iniziano i dubbi
Ma utilizza il cambio di coordinate \(\displaystyle(x_0,x_1,x_2,x_3)\mapsto\left(x,\frac{t+y}{2},\frac{t-y}{2},z\right)\)... 
Così ottieni che, nelle nuove coordinate \(\displaystyle t=0\).
Così ottieni che, nelle nuove coordinate \(\displaystyle t=0\).
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