Esercizio prova d'esame
Ciao,
vi riporto qui di seguito un esercizio che mi hanno proposto all'esame:
1. Sia [b1; b2; b3] una base di R3 , e sia T : R3 --> R3 l'applicazione lineare tale che:
T(b1) = b1 + 2b2 + b3;
T(b2) = 2b1 + 3b2;
T(b3) = 3b1 + b2 - b3;
(a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base [b1; b2; b3] .
(b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell'immagine di T.
(c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L'applicazione T è iniettiva?
I miei dubbi si concentrano tutti sul punto a). La matrice proposta nella soluzione è la seguente: $ (( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Ora, è veramente pazzesco che non ci abbia mai fatto caso, ma io ho sempre seguito il ragionamento seguente: Ax=T(x) con x vettore qualunque e A matrice rappresentativa. Pertanto, per soddisfare tal prodotto matriciale ho scritto la mia matrice rappresentativa nel seguente modo: $ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 0 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $ .
Non capisco perchè è errata.
Temo di aver preso 19 per questa cavolata e che mi abbia dato sbagliato l'intero esercizio.
Ringrazio già coloro che mi aiuteranno a uscire da questo rompicapo
vi riporto qui di seguito un esercizio che mi hanno proposto all'esame:
1. Sia [b1; b2; b3] una base di R3 , e sia T : R3 --> R3 l'applicazione lineare tale che:
T(b1) = b1 + 2b2 + b3;
T(b2) = 2b1 + 3b2;
T(b3) = 3b1 + b2 - b3;
(a) Si scriva la matrice che rappresenta T rispetto alla base [b1; b2; b3] .
(b) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell'immagine di T.
(c) Si dia la definizione di funzione iniettiva. L'applicazione T è iniettiva?
I miei dubbi si concentrano tutti sul punto a). La matrice proposta nella soluzione è la seguente: $ (( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Ora, è veramente pazzesco che non ci abbia mai fatto caso, ma io ho sempre seguito il ragionamento seguente: Ax=T(x) con x vettore qualunque e A matrice rappresentativa. Pertanto, per soddisfare tal prodotto matriciale ho scritto la mia matrice rappresentativa nel seguente modo: $ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 0 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $ .
Non capisco perchè è errata.
Temo di aver preso 19 per questa cavolata e che mi abbia dato sbagliato l'intero esercizio.
Ringrazio già coloro che mi aiuteranno a uscire da questo rompicapo
Risposte
Innanzitutto, ti segnalo che il punto a) è facilissimo se ricordi che la colonna i-esima della matrice è $T(b_i)$ in coordinate rispetto alla base data, per cui è praticamente già fatto.
Seguendo il tuo (contorto! più del necessario almeno) ragionamento si arriva comunque al risultato giusto... puoi mostrare i calcoli? Secondo me sbagli lì.
Paola
Seguendo il tuo (contorto! più del necessario almeno) ragionamento si arriva comunque al risultato giusto... puoi mostrare i calcoli? Secondo me sbagli lì.
Paola
"prime_number":
Innanzitutto, ti segnalo che il punto a) è facilissimo se ricordi che la colonna i-esima della matrice è $T(b_i)$ in coordinate rispetto alla base data, per cui è praticamente già fatto.
Seguendo il tuo (contorto! più del necessario almeno) ragionamento si arriva comunque al risultato giusto... puoi mostrare i calcoli? Secondo me sbagli lì.
Paola
Lo so che è facilissimo, ma odio ricordare le cose a memoria, anche se si tratta di una cosa tanto semplice
Se so il perchè, non me le scordo più, le cose.
Non ho fatto alcun calcolo, prendo i coefficienti e li metto in una matrice, verificando poi che l'uguaglianza tra prodotto matrice-vettore (b1, b2, b3 in questo caso) mi dia la trasformazione. Se moltiplichi la mia matrice per tal vettore, ottieni le nuove componenti trasformate.
La professoressa mi ha detto che è sbagliato.
Comunque sia, se non mi avesse dato sbagliato l'intero esercizio, avrei avuto 29
Facendo così dovresti ottenere l'identità.
Riguardo l'imparare a memoria, un minimo è necessario in Matematica, basti pensare alle definizioni! E' giusto "pastrocchiare" per capire perché certe cose siano definite in un modo invece che in un altro o per osservare che prendendo strade diverse si arriva allo stesso risultato, però... non puoi sperare di sopravvivere se pretendi ogni volta di rifare tutti i conti daccapo invece di usare una nozione che hai imparato dalla precedente esperienza.
Paola
Riguardo l'imparare a memoria, un minimo è necessario in Matematica, basti pensare alle definizioni! E' giusto "pastrocchiare" per capire perché certe cose siano definite in un modo invece che in un altro o per osservare che prendendo strade diverse si arriva allo stesso risultato, però... non puoi sperare di sopravvivere se pretendi ogni volta di rifare tutti i conti daccapo invece di usare una nozione che hai imparato dalla precedente esperienza.
Paola
"prime_number":
Facendo così dovresti ottenere l'identità.
Riguardo l'imparare a memoria, un minimo è necessario in Matematica, basti pensare alle definizioni! E' giusto "pastrocchiare" per capire perché certe cose siano definite in un modo invece che in un altro o per osservare che prendendo strade diverse si arriva allo stesso risultato, però... non puoi sperare di sopravvivere se pretendi ogni volta di rifare tutti i conti daccapo invece di usare una nozione che hai imparato dalla precedente esperienza.
Paola
No, dal mio prodotto ottieni il seguente vettore: $ (b1 + 2b2 + 3b3 , 2b1 + 3b2 , 3b1 + b2 - b3) $
Va bè, chiaramente ci si dà un limite, dettato dal buon senso. In questo caso ho perso una trentina di secondi a esagerare, per fare un prodotto matriciale ci vuole un attimo. E comunque, io non studio Matematica, studio Ingegneria
Vorrei solo capire cosa c'è che non funziona nel ragionamento.
Tu riporta esattamente i calcoli che fai e io ti dico.
Paola
Paola
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 3 , 0 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $ $ ( ( b1 ),( b2 ),( b3 ) ) $ = $ ( ( 1*b1+2*b2+3*b3 ),( 2*b1+3*b2+0*b3 ),( 3*b1+1*b2+(-1)*b3 ) ) $
Ho fatto un semplice prodotto righe per colonne, prima riga per colonna, seconda riga per colonna, terza riga per colonna. In questo modo i coefficienti vengono associati alle componenti e si ri-ottiene la trasformazione iniziale.
Al contrario, per ottenere la stessa trasformazione utilizzando la matrice riportata dalla professoressa bisogna fare un prodotto matriciale tra il vettore delle componenti (riga) e la medesima matrice. Solo così si ritorna alla trasformazione iniziale.
Io l'ho intesa così e mi pare che il ragionamento non faccia una piega. Probabilmente mi manca qualche concetto
Ho fatto un semplice prodotto righe per colonne, prima riga per colonna, seconda riga per colonna, terza riga per colonna. In questo modo i coefficienti vengono associati alle componenti e si ri-ottiene la trasformazione iniziale.
Al contrario, per ottenere la stessa trasformazione utilizzando la matrice riportata dalla professoressa bisogna fare un prodotto matriciale tra il vettore delle componenti (riga) e la medesima matrice. Solo così si ritorna alla trasformazione iniziale.
Io l'ho intesa così e mi pare che il ragionamento non faccia una piega. Probabilmente mi manca qualche concetto
Ahh ora ho capito come fai... E' sbagliato, basta pensare che $((b_1),(b_2),(b_3))$ non è un vettore, visto che ogni $b_i$ lo è.
Paola
Paola
Semplicemente quando scrivi la matrice associata alla applicazione lineare, devi prima di tutto fissare una base dello spazio di partenza e di arrivo. In questo caso, essendo la tua applicazione un endomorfismo(è definita da $R^3$ a $R^3$) coincidono quindi puoi utilizzare la stessa.,
Visto che non hai l'espressione esatta della tua applicazione, non puoi conoscere le immagini dei vettori di una tua ipotetica base che dovresti utilizzare per costruire la matrice associata. Però, l'es ti fornisce tre immagini che sono proprio le immagini di una base. L'ultimo passo per scrivere la matrice associata consiste nel prendere queste immagini e scriverle per componenti/coordinate rispetto alla stessa base(perché endomorfismo), e poi scriverle per colonne nella matrice.
In questo modo vedrai che ottieni proprio la matrice che cercavi.
Visto che non hai l'espressione esatta della tua applicazione, non puoi conoscere le immagini dei vettori di una tua ipotetica base che dovresti utilizzare per costruire la matrice associata. Però, l'es ti fornisce tre immagini che sono proprio le immagini di una base. L'ultimo passo per scrivere la matrice associata consiste nel prendere queste immagini e scriverle per componenti/coordinate rispetto alla stessa base(perché endomorfismo), e poi scriverle per colonne nella matrice.
In questo modo vedrai che ottieni proprio la matrice che cercavi.
Ritiro fuori la questione:
Cosa sarebbe cambiato se mi avessero fornito l'espressione esatta della mia applicazione? Non avrei dovuto operare nello stesso modo?
Cosa sarebbe cambiato se mi avessero fornito l'espressione esatta della mia applicazione? Non avrei dovuto operare nello stesso modo?
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