Esercizio Proiettività
Sto provando a fare degli esami vecchi di Geometria, ma non sono sicura delle mie soluzioni! 
Si consideri la proiettività [tex]$\Phi$[/tex] di P3 in sè, di matrice A= $((a,1,0,0),(0,a,0,0),(0,0,a,0),(0,0,1,a))$ in un fissato riferimento.
a) Determinare tutti gli spazi uniti, indicando su quali spazi vengono indotte omologie e/o involuzioni.
Dunque è giusto pensare che, preso P0 P1 P2 P3 come riferimento iniziale, in un riferimento P0 P1 P3 P2 la matrice si possa scrivere come A= $((a,1,0,0),(0,a,0,0),(0,0,a,1),(0,0,0,a))$ ?
Prendendo questa affermazione per buona:
- P0 $vv$ P3 è retta di punti uniti (c'è fascio di iperpiani uniti di asse questa retta dunque?)
-P0 $vv$ P1 e P3 $vv$P2 sono rette unite
- P0 $vv$P1 $vv$P2 e P1 V P3 $vv$P2 sono piani uniti
Poi scriverei che su P0 $vv$ P3 $vv$ P2 è indotta un'omologia speciale di centro P0 e asse P0 $vv$ P3. Inoltre sulle rette Pi $vv$ Pj ,con i e j da 1 a 3,
sono indotte omologie perchè queste contengono dei punti uniti (che sono i centri delle omologie?).
b) Per ogni piano unito, si descriva la proiettività indotta su quel piano, per esempio scrivendone la matrice in un opportuno riferimento.
Se considero l'omologia speciale del punto precedente, la sua matrice non dovrebbe essere $((a,1,0),(0,a,0),(0,0,a))$ ??
c) Per una retta unita r e per ogni coppia P,Q di punti di r non uniti per [tex]$\Phi$[/tex]: si determini il birapporto (P Q [tex]$\Phi$[/tex](P) [tex]$\Phi$[/tex](Q)); esistono quaterne armoniche di questo tipo?
Questo proprio non so farlo, se fossero punti uniti potrei usare il rapporto degli autovalori, ma non so come procedere.
Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto
[/tex]
Si consideri la proiettività [tex]$\Phi$[/tex] di P3 in sè, di matrice A= $((a,1,0,0),(0,a,0,0),(0,0,a,0),(0,0,1,a))$ in un fissato riferimento.
a) Determinare tutti gli spazi uniti, indicando su quali spazi vengono indotte omologie e/o involuzioni.
Dunque è giusto pensare che, preso P0 P1 P2 P3 come riferimento iniziale, in un riferimento P0 P1 P3 P2 la matrice si possa scrivere come A= $((a,1,0,0),(0,a,0,0),(0,0,a,1),(0,0,0,a))$ ?
Prendendo questa affermazione per buona:
- P0 $vv$ P3 è retta di punti uniti (c'è fascio di iperpiani uniti di asse questa retta dunque?)
-P0 $vv$ P1 e P3 $vv$P2 sono rette unite
- P0 $vv$P1 $vv$P2 e P1 V P3 $vv$P2 sono piani uniti
Poi scriverei che su P0 $vv$ P3 $vv$ P2 è indotta un'omologia speciale di centro P0 e asse P0 $vv$ P3. Inoltre sulle rette Pi $vv$ Pj ,con i e j da 1 a 3,
sono indotte omologie perchè queste contengono dei punti uniti (che sono i centri delle omologie?).
b) Per ogni piano unito, si descriva la proiettività indotta su quel piano, per esempio scrivendone la matrice in un opportuno riferimento.
Se considero l'omologia speciale del punto precedente, la sua matrice non dovrebbe essere $((a,1,0),(0,a,0),(0,0,a))$ ??
c) Per una retta unita r e per ogni coppia P,Q di punti di r non uniti per [tex]$\Phi$[/tex]: si determini il birapporto (P Q [tex]$\Phi$[/tex](P) [tex]$\Phi$[/tex](Q)); esistono quaterne armoniche di questo tipo?
Questo proprio non so farlo, se fossero punti uniti potrei usare il rapporto degli autovalori, ma non so come procedere.
Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto
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Risposte
Io avrei dei dubbi su come hai riscritto la matrice! 
Può essere che mi sbagli! -_-
Può essere che mi sbagli! -_-
"j18eos":
Io avrei dei dubbi su come hai riscritto la matrice!
Ciao!Riprendo l'argomento perchè sono interessata anch'io... Perchè la matrice riscritta così è sbagliata?Cioè, partendo da una matrice nella forma data nel testo come si procede?
Grazie
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