Esercizio prodotto vettoriale, errore concettuale?

[staultz]

Ciao, avrei ancora bisogno di voi..

Stavo svolgendo il seguente esercizio ma mi sono arenato su un punto in cui non mi torna come ragionamento teorico.
In sostanza devo trovare dei $λ_1, λ_2, λ_3$ tali che $(u∧v)∧v$=$λ_1 u, λ_2 v, λ_3 w$
con le seguenti componenti di u,v e w rispetto a una base r,t,s:
$u=(0,1,-1)$
$v=(1,0,1)$
$w=(1,2,-2)$
Dopo aver svolto il triplo prodotto vettoriale in serie si ha come risultato $g=(4,1,3)$ componenti rispeto alla base r,t,s

DOpo aver fatto ciò il professore ha impostato una combinazione lineare nei lambda che soddisfi:
$(4,1,3)=λ_1 u+λ_2 v+λ_3 w$
Questo punto non mi torna, non avrei prima dovuto cambiare base al vettore di componenti (4,1,3) e portarlo in base {u,v,w}, nel senso, io in questo modo ho impostato un uguaglianza tra $4r+1t+3s=λ_1 (0,1,-1)+λ_2 (1,0,1)+λ_3 (1,2,-2)$ mi pare avesse avuto senso se una volta cambiata al primo membro si fosse impostata: $au+bv+cw=λ_1 u+λ_2 v+λ_3 w$
Dove a,b,c sono i nuovi coefficienti nella base cambiata

Grazie.

[killing_buddha]

Chi è $w$? $(u^^v)^^v=-v^^(u^^v)$ è il vettore \((v\cdot u)v-|v|^2u\), vedi qui https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_pr ... le_product

[staultz]

Devi scusarmi l'ottusaggine ma non riesco a vedere cosa mi stai suggerendo

[staultz]

Ci ho riflettuto nel sonno,
forse potrebbe essere che funziona anche senza applicare il cambio di base perché, in fin dei conti, la matrice cambio di base quando applicata altri non è (in soldoni) che una combinazione lineare con coefficienti $λ_1, λ_2, λ_3$ rispetto alle componenti dei vettori costituenti la nuova base, espressi nella vecchia base e $λ_1, λ_2, λ_3$ saranno proprio le nuove componenti (rispetto a nuova base) del vettore che voglio espresso nella nova base, in sostanza una combinazione della forma: $4r+1t+3s=λ_1 (0,1,-1)+λ_2 (1,0,1)+λ_3 (1,2,-2)$

Confermate quanto mi pare di aver capito