Esercizio prodotto scalare e forma quadratica
salve a tutti, ho tra le mani questo esercizio:
Nello spazio vettoriale $RR^2[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali, sia $g_k$ il prodotto scalare definito dalla forma quadratica:
$q_k(a_0+a_1x+a_2x^2):=a_0^2+2a_1^2+2a_2^2+2ka_1a_2$
a) si determini per quale valore del parametro reale $k$ il prodotto scalare $g_k$ è definito positivo.
b) dato $f:RR_2[x] rarr RR_2[x]$, $f:P(x) rarr xP'(x)$ si dica se $f$ è un operatore lineare e, in caso affermativo, se è autoaggiunto e/o un isometria rispetto al prodotto scalare $g_1$.
Fino ad ora, in tutti gli esercizi che ho postato, ho sempre cercato di dare una mia soluzione, ma ora mi trovo davvero in difficoltà...
per il punto (a), provo a determinare la matrice associata al prodotto scalare nel modo seguente:
la base dovrebbe essere $B=(1, x, x^2)$
determino i coefficienti della matrice applicando la definizione data:
$ (1|1)=1 $
$ (1|x)=1+2=3 $
$ (1|x^2)=1+2=3 $
$ (x|1)=1+2=3 $
$ (x|x)= 2 $
$ (x|x^2)= 2+2+2k=4+2k $
$ (x^2|1)= 1+2=3 $
$ (x^2|x)= 2+2+2k=4+2k $
$ (x^2|x^2)= 2 $
ottenendo la matrice: $ M=( ( 1 , 3 , 3 ),( 3 , 2 , 4+2k ),( 3 , 4+2k , 2 ) ) $
che non è definita positiva, dato che non tutti i minori principali sono $>0$
Ovviamente è sbagliata questa soluzione. Qualcuno è in grado di chiarirmi le idee?
Grazie a tutti!
.BRN
Nello spazio vettoriale $RR^2[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali, sia $g_k$ il prodotto scalare definito dalla forma quadratica:
$q_k(a_0+a_1x+a_2x^2):=a_0^2+2a_1^2+2a_2^2+2ka_1a_2$
a) si determini per quale valore del parametro reale $k$ il prodotto scalare $g_k$ è definito positivo.
b) dato $f:RR_2[x] rarr RR_2[x]$, $f:P(x) rarr xP'(x)$ si dica se $f$ è un operatore lineare e, in caso affermativo, se è autoaggiunto e/o un isometria rispetto al prodotto scalare $g_1$.
Fino ad ora, in tutti gli esercizi che ho postato, ho sempre cercato di dare una mia soluzione, ma ora mi trovo davvero in difficoltà...
per il punto (a), provo a determinare la matrice associata al prodotto scalare nel modo seguente:
la base dovrebbe essere $B=(1, x, x^2)$
determino i coefficienti della matrice applicando la definizione data:
$ (1|1)=1 $
$ (1|x)=1+2=3 $
$ (1|x^2)=1+2=3 $
$ (x|1)=1+2=3 $
$ (x|x)= 2 $
$ (x|x^2)= 2+2+2k=4+2k $
$ (x^2|1)= 1+2=3 $
$ (x^2|x)= 2+2+2k=4+2k $
$ (x^2|x^2)= 2 $
ottenendo la matrice: $ M=( ( 1 , 3 , 3 ),( 3 , 2 , 4+2k ),( 3 , 4+2k , 2 ) ) $
che non è definita positiva, dato che non tutti i minori principali sono $>0$
Ovviamente è sbagliata questa soluzione. Qualcuno è in grado di chiarirmi le idee?
Grazie a tutti!
.BRN
Risposte
per l'esercizio a) io avrei dato questa matrice:
$((1,0,k),(0,2,0),(k,0,2))$
non capisco il ragionamento che fai....
$((1,0,k),(0,2,0),(k,0,2))$
non capisco il ragionamento che fai....
Grazie Quinzio per il tuo interessamento.
Il mio ragionamento lascialo perdere, mi scocciava troppo chiedere aiuto senza nemmeno provare a dare una soluzione (cosa pure vietata dal regolamento del forum). La mia dispensa, su questo argomento, è pittosto lacunosa e non ho un eserciziario da seguire, quindi fatico molto a capire il modo di ragionare per eseguire questo tipo di esercizi.
Se vuoi fare una bella cosa, potresti spiegarmi il tuo ragionamento che ti ha portato a quella matrice. Te ne sarei davvero grato!
Grazie mille!
.BRN
Il mio ragionamento lascialo perdere, mi scocciava troppo chiedere aiuto senza nemmeno provare a dare una soluzione (cosa pure vietata dal regolamento del forum). La mia dispensa, su questo argomento, è pittosto lacunosa e non ho un eserciziario da seguire, quindi fatico molto a capire il modo di ragionare per eseguire questo tipo di esercizi.
Se vuoi fare una bella cosa, potresti spiegarmi il tuo ragionamento che ti ha portato a quella matrice. Te ne sarei davvero grato!
Grazie mille!
.BRN
"Quinzio":
per l'esercizio a) io avrei dato questa matrice:
$((1,0,k),(0,2,0),(k,0,2))$
non capisco il ragionamento che fai....
Immagino che questa matrice la si trovi applicando la definizione del prodotto scalare dato nell'esercizio, usando gli elementi della base. Ma a me non esce proprio così...
il primo elemento dovrebbe essere dato da:
$(1|1)=1^2+0+0+0=1$
con il secondo ho già problemi:
$(1|x)=1^2+2*1^2+0+0=3$
E' ovvio che non ho benchiaro come si effettuino i conti....
Qualcuno è in grado di esplicitarmi meglio il modo con cui si trova la questa matrice?
Grazie!
.BRN
WOW! Che dire... davvero esauriente la tua spiegazione! Non sembri affatto arrugginito su queste cose! 
Sulle mie dispense del corso di geometria, di tutto quello che hai scritto, non è riportato nulla. Che dispense del piffero...
Quindi, avendo trovato la matrice che rappresenta il mio $g_k$
$ A=( ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , k ) , ( 0 , k , 2 ) ) $
posso dire, studiando i minori principali di NO, che risulta positivo solo per valori $ k<4 $
Giusto?
Grazie mille Sergio!
.BRN
Sulle mie dispense del corso di geometria, di tutto quello che hai scritto, non è riportato nulla. Che dispense del piffero...
Quindi, avendo trovato la matrice che rappresenta il mio $g_k$
$ A=( ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , k ) , ( 0 , k , 2 ) ) $
posso dire, studiando i minori principali di NO, che risulta positivo solo per valori $ k<4 $
Giusto?
Grazie mille Sergio!
.BRN
Ops! mi sa che hai ragione...
Io ho tenuto conto anche del determinante di tutto A e non solo dei suoi minori di NO.
Infatti fermandomi al più grande dei minori ottengo determinante pari a 2 e quindi $ |k| <2 $.
L'importante è che ora abbia una visione più chiara sulle quadratiche.
Grazie ancora!
.BRN
Io ho tenuto conto anche del determinante di tutto A e non solo dei suoi minori di NO.
Infatti fermandomi al più grande dei minori ottengo determinante pari a 2 e quindi $ |k| <2 $.
L'importante è che ora abbia una visione più chiara sulle quadratiche.
Grazie ancora!
.BRN
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