Esercizio prodotto scalare
In $R^3$ si consideri il prodotto scalare associato alla matrice simmetrica:
A = $((1,0,0),(0,0,-1),(0,-1,0))$
Domande:
1) per ogni x,y $in$ a $R^3$ si determinino $x*y$ e $x*x$
2) si determini una base ortogonale di $R^3$
3) si determini il tipo di definizione di A
4) si determini $R^3$ ortogonale
Inizio col punto 1) a scrivere cosa ho fatto anche se preciso che ho trovato tale formula e non la dove venga fuori (chi lo sa per favore me lo dice?)
$x*y$ = $x^T*A*y$ e $x*x$ = $x^T*A*x$
Ho trovato le 2 espressioni derivanti da queste operazioni.
2) Ho trovato i vettori della base sostituendo le componenti della base canonica alle espressioni trovate notando il fatto che il vettore scelto deve avere norma diversa da 0 ed essere ortogonale con gli altri.
3) Per sapere la definizione ho fatti i prodotti scalari fra gli elementi della base e se stessi e dipendentemente da come vengono ho scelto il tipo di definizione
4) Ho trovato un vettore ortogonale a $R^3$ facendo il prodotto scalare degli elementi della base per un vettore generico di tre componenti e dopo ho scelto un vettore che soddisfava le condizione che mi venivano fuori da queste operazioni.
E' giusto questo procedimento? Manca qualcosa o finisce cosi l'esercizio? Grazie a chi risponderà!
A = $((1,0,0),(0,0,-1),(0,-1,0))$
Domande:
1) per ogni x,y $in$ a $R^3$ si determinino $x*y$ e $x*x$
2) si determini una base ortogonale di $R^3$
3) si determini il tipo di definizione di A
4) si determini $R^3$ ortogonale
Inizio col punto 1) a scrivere cosa ho fatto anche se preciso che ho trovato tale formula e non la dove venga fuori (chi lo sa per favore me lo dice?)
$x*y$ = $x^T*A*y$ e $x*x$ = $x^T*A*x$
Ho trovato le 2 espressioni derivanti da queste operazioni.
2) Ho trovato i vettori della base sostituendo le componenti della base canonica alle espressioni trovate notando il fatto che il vettore scelto deve avere norma diversa da 0 ed essere ortogonale con gli altri.
3) Per sapere la definizione ho fatti i prodotti scalari fra gli elementi della base e se stessi e dipendentemente da come vengono ho scelto il tipo di definizione
4) Ho trovato un vettore ortogonale a $R^3$ facendo il prodotto scalare degli elementi della base per un vettore generico di tre componenti e dopo ho scelto un vettore che soddisfava le condizione che mi venivano fuori da queste operazioni.
E' giusto questo procedimento? Manca qualcosa o finisce cosi l'esercizio? Grazie a chi risponderà!
Risposte
Relativamente al primo punto della domanda,
\(\displaystyle \phi (x,y) = x^t * A * y \)
è l' espressione matriciale per la forma bilineare \(\displaystyle \phi \) nel riferimento R,
con A, matrice associata alla forma bilineare \(\displaystyle \phi \) nel medesimo riferimento.
A = (\(\displaystyle \phi ij \)) per i,j= 1,...,n,
con \(\displaystyle \phi ij = \displaystyle \phi (vi, vj)\),
con v1, ... , vn vettori del riferimento R dello spazio vettoriale V.
Pertanto, l' entrata di posto i,j della matrice A
è la scalare corrispondente al prodotto del vettore i-esimo per il vettore j-esimo del riferimento R di \(\displaystyle R^3 \)
Una applicazione bilineare \(\displaystyle \phi \) è simmetrica se la sua matrice associata A in un dato riferimento è simmetrica; se è antisimmetrica, l' applicazione bilineare è alternante.
\(\displaystyle \phi (x,y) = x^t * A * y \)
è l' espressione matriciale per la forma bilineare \(\displaystyle \phi \) nel riferimento R,
con A, matrice associata alla forma bilineare \(\displaystyle \phi \) nel medesimo riferimento.
A = (\(\displaystyle \phi ij \)) per i,j= 1,...,n,
con \(\displaystyle \phi ij = \displaystyle \phi (vi, vj)\),
con v1, ... , vn vettori del riferimento R dello spazio vettoriale V.
Pertanto, l' entrata di posto i,j della matrice A
è la scalare corrispondente al prodotto del vettore i-esimo per il vettore j-esimo del riferimento R di \(\displaystyle R^3 \)
Una applicazione bilineare \(\displaystyle \phi \) è simmetrica se la sua matrice associata A in un dato riferimento è simmetrica; se è antisimmetrica, l' applicazione bilineare è alternante.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo