Esercizio Prodotti Scalari
Sia V spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo reale, in cui sia dato un prodotto
scalare definito positivo. Sia (v1,.....,vm) un insieme di elementi mutuamente ortogonali e di norma unitaria.
Si assuma che per ogni v appartenente a V si abbia
(||v||)^2= Sommatoria da i=1 a m di ()^2 ( norma di v al quadrato uguale sommatoria da i=1 a m dei prodotti scalari elevati al quadrato
dimostrare che (v1,....,vm) base di V
come posso fare ???
scalare definito positivo. Sia (v1,.....,vm) un insieme di elementi mutuamente ortogonali e di norma unitaria.
Si assuma che per ogni v appartenente a V si abbia
(||v||)^2= Sommatoria da i=1 a m di (
dimostrare che (v1,....,vm) base di V
come posso fare ???
Risposte
(Lo sai che dovresti scrivere in LaTex?)
Hai uno spazio vettoriale $V$ su $\mathbb{R}$ tale che $dim(V)=m$. Hai $\phi$ pr. scalare def>0 su $V$. Inoltre ${v_1,...,v_m}$ è un insieme di vettori tali che $\forall i \ne j \in {1,...,m}$ si ha che $\phi(v_i,v_j)=0$ e dove $\forall i, ||v_i || =1$.
Ora, abbiamo l'ipotesi che $\forall v \in V$, $||v||^2=\sum_{k=1}^m \phi(v,v_k)^2$. Si vuole dimostrare che ${v_1,..., v_m}$ è una base di $V$.
Un'idea potrebbe essere sfruttare il fatto che il prodotto scalare è definito positivo. Dimostra per assurdo che comunque si scelga una coppia di vettori $v_i \ne v_j$ dall'insieme ${v_1,...,v_m}$, essi sono linearmente indipendenti. (suggerimento: che succede se prendo uno di essi (assumendo che sia linearmente dipendente a qualcun'altro!) e ne faccio la norma quadra?)
Una volta che avrai dimostrato che ${v_1,..., v_m}$ sono linearmente indipendenti, puoi concludere che sono una base di $V$ (perchè?).
Hai uno spazio vettoriale $V$ su $\mathbb{R}$ tale che $dim(V)=m$. Hai $\phi$ pr. scalare def>0 su $V$. Inoltre ${v_1,...,v_m}$ è un insieme di vettori tali che $\forall i \ne j \in {1,...,m}$ si ha che $\phi(v_i,v_j)=0$ e dove $\forall i, ||v_i || =1$.
Ora, abbiamo l'ipotesi che $\forall v \in V$, $||v||^2=\sum_{k=1}^m \phi(v,v_k)^2$. Si vuole dimostrare che ${v_1,..., v_m}$ è una base di $V$.
Un'idea potrebbe essere sfruttare il fatto che il prodotto scalare è definito positivo. Dimostra per assurdo che comunque si scelga una coppia di vettori $v_i \ne v_j$ dall'insieme ${v_1,...,v_m}$, essi sono linearmente indipendenti. (suggerimento: che succede se prendo uno di essi (assumendo che sia linearmente dipendente a qualcun'altro!) e ne faccio la norma quadra?)
Una volta che avrai dimostrato che ${v_1,..., v_m}$ sono linearmente indipendenti, puoi concludere che sono una base di $V$ (perchè?).
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