Esercizio operatori spazio L^2
Ho un esercizio che non riesco a risolvere, ho difficoltà anche nell'impostarlo correttamente.
Nello spazio di $L^2(a,b)$ siano dati gli operatori $X=x$ e $P=id/(dx)$. Si dimostri esplicitamente che l'operatore $C=XP+PX$ è hermitiano sia che si usino le condizioni al contorno $f(a)=f(b)=0$ oppure $f(a)=f(b)=0$. Risolvere l'equazione agli autovalori per C e dimostrare che essa non ammette soluzioni che rispettino le condizioni di contorno date.
Ho provato a risolvere la seconda parte, l'equazione agli autovalori, in questo modo, ma presumo sia sbagliato
$(x+id/(dx)+id/dxx)f(x)=lambdaf(x)$
$x*if'(x)+i[f'(x)+xf(x)]=lambdaf'(x)$
$(f'(x))/f(x)(x+1)=(lambda-i)/i$
arrivo a questa equazione che non so risolvere.
Potete aiutarmi a impostare correttamente l'esercizio. Anche il primo punto perché non ho idea di come si faccia a capire se l'operatore è hermitiano o meno. Grazie
Nello spazio di $L^2(a,b)$ siano dati gli operatori $X=x$ e $P=id/(dx)$. Si dimostri esplicitamente che l'operatore $C=XP+PX$ è hermitiano sia che si usino le condizioni al contorno $f(a)=f(b)=0$ oppure $f(a)=f(b)=0$. Risolvere l'equazione agli autovalori per C e dimostrare che essa non ammette soluzioni che rispettino le condizioni di contorno date.
Ho provato a risolvere la seconda parte, l'equazione agli autovalori, in questo modo, ma presumo sia sbagliato
$(x+id/(dx)+id/dxx)f(x)=lambdaf(x)$
$x*if'(x)+i[f'(x)+xf(x)]=lambdaf'(x)$
$(f'(x))/f(x)(x+1)=(lambda-i)/i$
arrivo a questa equazione che non so risolvere.
Potete aiutarmi a impostare correttamente l'esercizio. Anche il primo punto perché non ho idea di come si faccia a capire se l'operatore è hermitiano o meno. Grazie
Risposte
A me viene in mente la meccanica quantistica...
Se hai svolto bene i calcoli, ti accorgi che quella è una ODE a variabili separabili!
Se hai svolto bene i calcoli, ti accorgi che quella è una ODE a variabili separabili!
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