Esercizio matrici
Ragazzi mi aiutate con questo esercizio
a) Calcola il determinate e il rango della matrice C= $ ( ( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 4 , 6 , -1 , 2 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( 2 , 2 , -1 , 2 ) ) $
b)Sia LC l'applicazione lineare definita dalla matrice C. Dire qual è il dominio e qual è il codominio di LC e calcolare la dimensione e una base del nucleo di LC.
Per quanto riguarda il rango a me viene = 2 e quindi il determinante è nullo.
Ora per calcolare il dominio e il codomio basta considerare che è una matrice 4x4 quindi sia il dominio che il codominio sono $ RR ^(4) $ ?
Per la dimensione so che dim V = dim Ker L + dim IM L , quindi numero colonne di C = dim Ker L + rango di C $ rarr $ dim Ker L = 2
Per calcolare la base invece come posso fare ?
Grazie per l'aiuto
a) Calcola il determinate e il rango della matrice C= $ ( ( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 4 , 6 , -1 , 2 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( 2 , 2 , -1 , 2 ) ) $
b)Sia LC l'applicazione lineare definita dalla matrice C. Dire qual è il dominio e qual è il codominio di LC e calcolare la dimensione e una base del nucleo di LC.
Per quanto riguarda il rango a me viene = 2 e quindi il determinante è nullo.
Ora per calcolare il dominio e il codomio basta considerare che è una matrice 4x4 quindi sia il dominio che il codominio sono $ RR ^(4) $ ?
Per la dimensione so che dim V = dim Ker L + dim IM L , quindi numero colonne di C = dim Ker L + rango di C $ rarr $ dim Ker L = 2
Per calcolare la base invece come posso fare ?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Il punto A e' corretto si!ora per il punto B,che base devi trovare?non e' chiarissima la domanda,quella del KerL o di ImL?basta comunque scrivere le/la equazione cartesiana,e da quel punto t puoi trovare facilmente una base.
Devo trovare la base di Ker L , ma come faccio a scrivere le equazioni cartesiane ? e qual'è il punto t ?
Invece per quanto riguarda dominio , codominio e dimensione di Ker L le mie risposte sono giuste ?
Invece per quanto riguarda dominio , codominio e dimensione di Ker L le mie risposte sono giuste ?
La dim del ker e' giusta si,poiché $n-rgA=dim KerL$ quindi kerL ha dim=$2$ per quanto riguarda la base non hai idee?e' piuttosto semplice!pensa alla definizione di nucleo!
Ho pensato questo : l'applicazione LC trasforma un generico vettore x in C*x e se x appartiene a Ker L C*x =0
Quindi moltiplico la matrice per un generico vettore $ ( ( a , b , c , d ) ) $ e ottengo $ ( ( a-c+2d , 4a+6b-c+2d , -a-2b , 2a+2b-c+2d ) ) $
Ora uguaglio a 0 tutte e 4 le componenti del vettore e ottengo un sistema con 4 equazioni e 4 incognite ma visto che il rango è 2 ho solo 2 paramentri liberi , in particolare ho che $ a=-2b $ e $ c=2d-2b $ quindi il vettore diventa : $ ( ( -2b , b , 2d-2b , d ) ) $ e quindi le basi sono $ ( ( -2 , 1 , -2 , 0 ) ) $ e $ ( ( 0 , 0 , 2 , 1 ) ) $ .
C'è qualche errore o va bene ?
Quindi moltiplico la matrice per un generico vettore $ ( ( a , b , c , d ) ) $ e ottengo $ ( ( a-c+2d , 4a+6b-c+2d , -a-2b , 2a+2b-c+2d ) ) $
Ora uguaglio a 0 tutte e 4 le componenti del vettore e ottengo un sistema con 4 equazioni e 4 incognite ma visto che il rango è 2 ho solo 2 paramentri liberi , in particolare ho che $ a=-2b $ e $ c=2d-2b $ quindi il vettore diventa : $ ( ( -2b , b , 2d-2b , d ) ) $ e quindi le basi sono $ ( ( -2 , 1 , -2 , 0 ) ) $ e $ ( ( 0 , 0 , 2 , 1 ) ) $ .
C'è qualche errore o va bene ?
Sicuramente il ragionamento e' corretto!!per i calcoli mi fido 
ma mi sembra possa starci!!;)
ma mi sembra possa starci!!;)
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