Esercizio matrice associata endomorfismo
Salve gente,
mi blocco ad un punto di un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi e non so come uscirne fuori.
Ho letto mille dispense, tra le quali quella di Sergio (Algebra lineare per dummies) perchè sono davvero tanto "dummies"
Devo dire che mi ha chiarito molti concetti (grazie di averla creata!!!!!!) ma questo esercizio mi rimane sempre indigesto.
Le basi di V sono del tipo ${(0,a,b,b), a,b in RR}$ e quindi una base può essere $B={(0,1,0,0),(0,0,1,1)}$ e ha quindi dimensione 2.
Per trovare i valori dei parametri $a,b$ considero che il rango della matrice deve essere 2 e quindi a questo punto considero la trasposta della matrice M(f) per poterla ridurre per righe. L'obiettivo è far annullare due righe così da aver rango 2 ma, per $a=1, b=3$ ottengo che la matrice ha rango 3.
A questo punto mi blocco. So che basterebbe considerare la matrice di cambiamento di coordinate da $\epsilon$ a $B$.
Mi potete aiutare please?
Grazie.
mi blocco ad un punto di un esercizio di algebra lineare sugli endomorfismi e non so come uscirne fuori.
Ho letto mille dispense, tra le quali quella di Sergio (Algebra lineare per dummies) perchè sono davvero tanto "dummies"
Devo dire che mi ha chiarito molti concetti (grazie di averla creata!!!!!!) ma questo esercizio mi rimane sempre indigesto. Trovare la dimensione e una base $B$ del sottospazio di $RR^4$ così definito $V={(x,y,z,t) in RR^4| x=0, z=t}$.
Sia f l'endomorfismo di $RR^4$ tale che
$M(f)=((1,0,a,-1),(2,1,2,1),(0,1,1,b),(2,1,3,0))$ sia la matrice associata rispetto alla base canonica.
Trovare $a,b in RR$ per i quali f induce un endomorfismo di f' di V e determinare $M_B (f')$.
Le basi di V sono del tipo ${(0,a,b,b), a,b in RR}$ e quindi una base può essere $B={(0,1,0,0),(0,0,1,1)}$ e ha quindi dimensione 2.
Per trovare i valori dei parametri $a,b$ considero che il rango della matrice deve essere 2 e quindi a questo punto considero la trasposta della matrice M(f) per poterla ridurre per righe. L'obiettivo è far annullare due righe così da aver rango 2 ma, per $a=1, b=3$ ottengo che la matrice ha rango 3.
A questo punto mi blocco. So che basterebbe considerare la matrice di cambiamento di coordinate da $\epsilon$ a $B$.
Mi potete aiutare please?
Grazie.
Risposte
L'endomorfismo \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) quando \(f(v) \in V\) per ogni \(v \in V\), cioè quando \(f(V) \subseteq V\).
Questo non significa che l'immagine di \(f\) è contenuta in \(V\).
Questo non significa che l'immagine di \(f\) è contenuta in \(V\).
"elvis":
L'endomorfismo \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) quando \(f(v) \in V\) per ogni \(v \in V\), cioè quando \(f(V) \subseteq V\).
Questo non significa che l'immagine di \(f\) è contenuta in \(V\).
Quindi il mio ragionamento è sbagliato?
Direi di sì. Perché dici che il rango della matrice \(M(f)\) deve essere \(2\)?
"elvis":
Direi di sì. Perché dici che il rango della matrice \(M(f)\) deve essere \(2\)?
Perchè la base del sottospazio V ha dimensione 2.
Il mio dubbio è proprio questo, in condizioni 'normali', cioè senza parametri, mi sarei trovata la matrice di cambiamento di base e la sua inversa e poi, applicando la formula delle matrici simili, avrei ottenuto la $M^B$. In questo caso non saprei.
Grazie
A questo punto, credo che il modo migliore per chiarire ogni dubbio sia risolvere l'esercizio.
Chiamiamo \(v_1 = (0,1,0,0)\) e \(v_2 = (0,0,1,1)\). Come ti ho già detto, \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) se e solo se \(f(V) \subseteq V\); d'altronde, poiché \(\{v_1,v_2\}\) è una base di \(V\), \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) precisamente quando
\[
f(v_1) \in V \qquad \text{e} \qquad f(v_2) \in V
\]Utilizzando l'espressione della matrice \(M(f)\), troviamo
\[
f(v_1) = (0,1,1,1) \qquad \text{e} \qquad f(v_2) = (a-1,3,1+b,3)
\]Poiché \(V = \{x = 0, t = z\}\), osserviamo che \(f(v_1)\) e \(f(v_2)\) sono (entrambi) in \(V\) quando
\[
a = 1 \qquad b = 2
\]
Ricapitolando, per tali valori di \(a\) e \(b\), l'endomorfismo \(f \, \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) induce un endomorfismo \(f' \, \colon \, V \to V\) tale che
\[
f'(v_1) = (0,1,1,1) = v_1 + v_2 \qquad \text{e} \qquad f'(v_2) = (0,3,3,3) = 3v_1 + 3v_2
\]
In conclusione,
\[
M_B(f') = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
Chiamiamo \(v_1 = (0,1,0,0)\) e \(v_2 = (0,0,1,1)\). Come ti ho già detto, \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) se e solo se \(f(V) \subseteq V\); d'altronde, poiché \(\{v_1,v_2\}\) è una base di \(V\), \(f\) induce un endomorfismo di \(V\) precisamente quando
\[
f(v_1) \in V \qquad \text{e} \qquad f(v_2) \in V
\]Utilizzando l'espressione della matrice \(M(f)\), troviamo
\[
f(v_1) = (0,1,1,1) \qquad \text{e} \qquad f(v_2) = (a-1,3,1+b,3)
\]Poiché \(V = \{x = 0, t = z\}\), osserviamo che \(f(v_1)\) e \(f(v_2)\) sono (entrambi) in \(V\) quando
\[
a = 1 \qquad b = 2
\]
Ricapitolando, per tali valori di \(a\) e \(b\), l'endomorfismo \(f \, \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) induce un endomorfismo \(f' \, \colon \, V \to V\) tale che
\[
f'(v_1) = (0,1,1,1) = v_1 + v_2 \qquad \text{e} \qquad f'(v_2) = (0,3,3,3) = 3v_1 + 3v_2
\]
In conclusione,
\[
M_B(f') = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
Grazieeeeee mi hai salvato la vita!!!!
Adesso mi studio bene ogni passaggio e in caso approfitto ancora della tua bontà.
Grazie mille davvero
Adesso mi studio bene ogni passaggio e in caso approfitto ancora della tua bontà.
Grazie mille davvero
Ho analizzato la tua risoluzione e mi è tutto chiaro (miracolo!!!). 
Ho quindi cercato di risolvere un altro problema simile, cioè questo:
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e una base sarebbe costituita dai vettori $v_1=(1,1,0,0), v_2=(0,0,1,0)$ e quindi ha dimensione 2.
Utilizzando la matrice $M^\epsilon$ mi trovo
$f(v_1)=(2,2,1+a,b)$
$f(v_2)=(-1,-1,2,0)$
Dalla definizione del sottospazio V sappiamo che, per essere elementi di V devono essere verificate le condizioni ${x=y, t=0}$. Segue così che $b=0$ mentre invece il parametro $a$ me lo ritrovo nella posizione della variabile 'libera' $z$
In questo caso come faccio a trovare il suo valore? Devo confrontarlo con il valore nella stessa posizione dell'altro vettore?
Grazie mille
Ho quindi cercato di risolvere un altro problema simile, cioè questo:
Trovare una base del sottospazio di $RR^4$ così definito $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x-y=0, t=0}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^4$ t.c. $M^\epsilon = ((1,1,-1,0),(2,0,-1,1), (1,a,2,3), (b,0,0,1))$.
Trovare valori dei parametri reali a,b per i quali f induce un endomorfismo di V e determinare $M^b (f_(|V))$.
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e una base sarebbe costituita dai vettori $v_1=(1,1,0,0), v_2=(0,0,1,0)$ e quindi ha dimensione 2.
Utilizzando la matrice $M^\epsilon$ mi trovo
$f(v_1)=(2,2,1+a,b)$
$f(v_2)=(-1,-1,2,0)$
Dalla definizione del sottospazio V sappiamo che, per essere elementi di V devono essere verificate le condizioni ${x=y, t=0}$. Segue così che $b=0$ mentre invece il parametro $a$ me lo ritrovo nella posizione della variabile 'libera' $z$
In questo caso come faccio a trovare il suo valore? Devo confrontarlo con il valore nella stessa posizione dell'altro vettore?
Grazie mille
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