[ESERCIZIO] Maledette applicazioni lineari
Buonasera, non riesco a fare due punti di un esercizio... magari qualcuno può aiutare 
"Sia $T : R^4 -> R^3$ la funzione lineare associata alla matrice $A = ((2,1,0,0),(4,2,1,1),(10,5,2,2))$.
b) Determinare una controimmagine per ciascuno dei vettori $(2,4,10), (0,1,2)$ nella funzione $T$.
d) Dimostrare che fissate le basi $B = ((1,-2,0,0),(0,0,1,-1),(1,0,0,0),(0,0,1,0))$ e $C = ((2,4,10),(0,1,2),(0,0,1))$, si ha $M_B^C(T) = ((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$."
Grazie!
"Sia $T : R^4 -> R^3$ la funzione lineare associata alla matrice $A = ((2,1,0,0),(4,2,1,1),(10,5,2,2))$.
b) Determinare una controimmagine per ciascuno dei vettori $(2,4,10), (0,1,2)$ nella funzione $T$.
d) Dimostrare che fissate le basi $B = ((1,-2,0,0),(0,0,1,-1),(1,0,0,0),(0,0,1,0))$ e $C = ((2,4,10),(0,1,2),(0,0,1))$, si ha $M_B^C(T) = ((0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$."
Grazie!
Risposte
Help still needed. 
I vettori delle due basi sono inseriti come vettori riga o vettori colonna?
Se fai la moltiplicazione
$A((1),(0),(0),(0))$
cosa ottieni ?
$A((1),(0),(0),(0))$
cosa ottieni ?
"weblan":
I vettori delle due basi sono inseriti come vettori riga o vettori colonna?
Io li inserisco sempre in colonna ma guardando la risoluzione portata dal professore sono inseriti in riga.
"Quinzio":
Se fai la moltiplicazione
$A((1),(0),(0),(0))$
cosa ottieni ?
Il vettore $((2),(4),(10))$? Cosa rappresenta?
EDIT: Ho visto la soluzione (perdonatemi ma non capisco come si sia arrivati ad ottenere una controimmagine) ed ho appunto capito che si tratta della controimmagine del vettore da me trovato... Qual è il procedimento?
Per trovare una controimmagine di un vettore dato $v$ devi cercare un generico vettore incognito $X=(x,y,z,t)$ tale che $TX=v$ e questo equivale a risolvere un sistema di 3 equazioni in quattro incognite (che dovresti saper scrivere).
Grazie!Ho ottenuto l'altra controimmagine che è uguale a $X = ((0),(0),(0),(1))$ per chi fosse interessato.
Mentre per il punto d)?
Il punto d) è una semplice applicazione della definizione di "cambiamento di base"
Non riesco proprio a risolverlo... ho provato sia ad usare il metodo della base come combinazione lineare dell'altra, sia le matrici di transizione...
In questi casi io faccio così.
Trovo le immagini mediante A delle componenti della base B ( che a quanto pare,come quelle di C, sono scritte per riga). Allora ho :
1) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Esprimo questa immagine in funzione delle componenti di C. In questo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)
La prima colonna della matrice M è formata dai coefficienti della precedente combinazione lineare e dunque:
prima colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
2) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Esprimo questa immagine in funzione delle componenti di C. Anche in questo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
seconda colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
3) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix}\)
Ora risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
terza colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
4) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\)
Si ha :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +1\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
quarta colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} \)
Mettendo insieme le quattro colonne nell'ordine scritto si ha la M richiesta.
Trovo le immagini mediante A delle componenti della base B ( che a quanto pare,come quelle di C, sono scritte per riga). Allora ho :
1) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Esprimo questa immagine in funzione delle componenti di C. In questo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)
La prima colonna della matrice M è formata dai coefficienti della precedente combinazione lineare e dunque:
prima colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
2) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Esprimo questa immagine in funzione delle componenti di C. Anche in questo caso risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
seconda colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
3) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix}\)
Ora risulta :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
terza colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
4) \(\displaystyle A\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\)
Si ha :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=0\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\10\end{pmatrix} +1\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+0\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
quarta colonna di M=\(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} \)
Mettendo insieme le quattro colonne nell'ordine scritto si ha la M richiesta.
Grazie mille! 
Limerò il mio linguaggio in modo da essere più preciso!
Limerò il mio linguaggio in modo da essere più preciso!
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