Esercizio isometria

[egregio]

Nel piano euclideo $E_2$ , con un fissato riferimento ortonormale R, si considerino i punti A(1,0) e B(1,5). Si rappresenti un isometria non identica di $E_2$ in sè che lasci fissi i punti A e B.

Ho pensato di risolverlo così:
Poichè ogni endomorfismo che conserva le distanze è una isometria mi voglio trovare una base di $E_2$ e l'endomorfismo.
Una base di $E_2$ ortonormale è [(1,5),(-5,1)] dato che una applicazione lineare conserva la dipendenza lineare, il mio endomorfismo trasforma sistemi ortonormali in sistemi ortonormali (credo!!!!).
Determino l'immagine degli elementi della base:
f(1,5)=(1,5) (B è punto unito)
Sfrutto ipotesi di norma
||(-5,1)||=radq(25+1)=radq(26)
devo trovare due numeri tali che la loro norma si radice di 26
||(x,y)||=radq(x^2+y^2)=radq(26)
x^2+y^2=26
Ponendo y^2=9
ho x^2=26-9=17
quindi
(x,y)=(radq(17),3)
f(-5,1)=(radq(17),3)
(x,y)=a(1,5)+b(-5,1)=(a-5b,5a+b)
da cui
(x,y)=(31x+5y)/26 (1,5) + (x+y)/26 (-5,1)
f(x,y)=(31x+5y)/26 (1,5)+ (x+y)/26 (radq17,3)
Scrivendo in funzione di x e y ottengo il mio endomorfismo

Non credo sia fatto nella maniera corretta, perchè non mi sembra di aver messo in luce il fatto che deve conservare le distanze e non ho usato l'ipotesi di A punto fisso.

[franced]

"biggest":Nel piano euclideo $E_2$ , con un fissato riferimento ortonormale R, si considerino i punti A(1,0) e B(1,5). Si rappresenti un isometria non identica di $E_2$ in sè che lasci fissi i punti A e B.

La faccenda è molto semplice: se guardi bene i due punti stanno sulla retta $x = 1$, quindi basta considerare
la simmetria assiale rispetto a tale retta:

$((x'),(y')) = ((2-x),(y))$.

[franced]

Seconda soluzione, che puoi seguire in generale (la soluzione precedente è molto semplice in quanto
io punti stanno su una retta parallela all'asse y):

per trovare l'equazione della simmetria rispetto alla retta
passante per i due punti assegnati, considero l'equazione
di una generica similitudine indiretta (si osservi che una simmetria assiale
è una particolare similitudine indiretta):

$((x'),(y')) = ((a,b),(b,-a)) ((x),(y)) + ((e),(f))$

impongo che:

$((1),(0)) mapsto ((1),(0))$ ;

$((1),(5)) mapsto ((1),(5))$

e trovo l'equazione della simmetria assiale (infatti,
poiché abbiamo un segmento che viene trasformato in se stesso,
si tratta di una similitudine che mantiene le distanze, ovvero di
una isometria).

[egregio]

Grazie.
Conosci per caso qualche sito internet, dispense, etc..., che si occupi proprio della determinazioni di questo tipo di applicazioni?

[franced]

Guarda qui

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... piano.html