Esercizio Intersezione retta-piano

[lespaul1]

Salve a tutti,un altro esercizio che non mi è chiaro:

Sia data la retta r di equazioni cartesiane:
x − y + z = 2
x − y − z = −1
e sia ç il piano x + y + z = 0.
a) Determinare l’intersezione della retta r con il piano ç.
b) Dire se la retta r ´e perpendicolare al piano ç.

Inoltre volevo chiedere se c'è un formulario nel quale capire come trovare per esempio intersezioni tra rette, retta piano etc. grazie mille

[Lord K]

Genericamente hai che la retta ha equazione del tipo:

$r: P_0+lambda_0*\bar nu$

Mentre il piano ha equazione:

$pi: Q_0+lambda_1*\bar omega +mu_1 *\bar u$

Quello che ci interessa è $pi nn r$.

Se $P_0 in pi$ e $\bar omega, \bar u, \bar nu$ sono linearmente indipendenti allora $pi nn r=P_0$.

Se $P_0 in pi$ e $\bar omega, \bar u, \bar nu$ sono linearmente dipendenti allora $pi nn r=r$.

Se $P_0 !in pi$ e $\bar omega, \bar u, \bar nu$ sono linearmente indipendenti allora $pi nn r$ consta in un unico punto.

Se $P_0 !in pi$ e $\bar omega, \bar u, \bar nu$ sono linearmente dipendenti allora $pi nn r=0$

Nel tuo caso hai che:

$r:{(x-y+z=2),(x-y-z=-1):}$

da cui:

$r: ((-1),(0),(3/2))+lambda_0*((1),(1),(0))$

con:

$pi: ((0),(0),(0))+lambda_0*((-1),(1),(0))+mu_0*((-1),(0),(-1))$

$P_0=((-1),(0),(3/2)) !in pi$

ed inoltre:

$det |\bar nu, \bar w, \bar u| = 0$

ovvero linearmente indipendenti, allora avremo come intersezione un unico punto. Per calcolarlo metto tutto a sistema:

${(x-y+z=2),(x-y-z=-1),(x+y+z=0:}$
$pi nn r={(x=-1/2),(y=0),(z=3/2):}$

A meno di orrori dovremmo esserci!