Esercizio intersezione di sottospazi

[Marix2]

Salve a tutti,
il prof ha svolto un esercizio che non ho ben capito:

Sia $U=Span((1,1,1,1),(2,0,1,3))$
e sia $V=Span((1,0,0,0),(0,1,0,-2))$
Calcolare una base e la dimensione per $U, V, U+V, UnnV$

Il problema sta nel calcolare la base e la dimensione di $UnnV$ :

$dim UnnV = 2+2-1=1$ e fin qui ci siamo
se $winUnnV$ allora:
$w= x(1,1,1,1)+y(2,0,1,3)=z(1,0,0,0)+t(0,1,0,-2)$
svolgo il sistema:
$\{(x+2y=z),(x=t),(x+y=0),(x+3y=-2t):}$
e come risultato ottengo:
$(t,-t,-t,t)$

ora arriva il problema:
il prof associa a $(t,-t,-t,t)$:
$(-1,1,0,-2)$

come è possibile? da dove prende questo vettore?

e poi conclude l'esercizio dicendo:
$w=(-1,1,0,-2) in UnnV $
perciò:
$dimUnnV=1$ ed una base per $UnnV$ è:
$\{((-1,1,0,-2))\}$

spero che qualcuno mi possa aiutare,
Grazie mille in anticipo

[nanninella87]

Dalla formula di Grassman ottieni che la dimensione di U∩V=1 poichè 2+2-3=1 dove 3=dim(U+V).
Risolvendo il sistema ottieni x=t,y=-t,z=-t.
Ora è facile,sostituisci la z qui: z(1,0,0,0)+t(0,1,0,-2) cioè viene -t(1,0,0,0)+t(0,1,0,-2) da cui ottieni proprio il vettore (-t,t,0,-2t). Assegna 1 alla t che varia in R e ottieni w=(-1,1,0,-2)∈U∩V.
Spero di essere stata chiara.

[Marix2]

Perfetto grazie mille!!

Ultima cosa: perchè alla fine devo calcolare z(1,0,0,0)+t(0,1,0,-2) ?? E non x(.,.,.,.)+y(.,.,.,.) ??

[nanninella87]

no puoi anche farlo per x e y ma devi trovare le soluzioni del sistema in funzione di x o di y anzichè in t o z. E' uguale.....

[AndreaC891]

Spulciando in internet alla ricerca di un esercizio sull'intersezione di sottospazi, mi sono imbattuto in questo topic.
Non ho capito la parte dell'esercizio in cui associa (t, -t, -t, t) a (-1, 1, 0, -2).
Ho capito che sostituisce la z, ma perchè proprio la z? E non la x o la y o entrambe?

Ho l'esame venerdì tragedia

[Marix2]

Mi sembra di aver capito, ora ti spiego:

per poter usare x o y devo svolgere il sistema in funzione di x o y.
per esempio svolgendo il sistema in funzione di x trovo:

x+2y=z
t=x
x+y=0
x+3y=-2x


z=x+2y=x+2(-x)=x-2x= -x
t= x
y= -x

quindi ricavo con le varie sostituzioni del sistema:
(x,-x,-x,x)
cioè
x=x
y=-x
z=-x
t=x

ed ora non mi resta che procedere sostituendo i valori ottenuti in:
x(1,1,1,1)+y(2,0,1,3)
cioè
x(1,1,1,1)+(-x)(2,0,1,3)
da cui proviene il vettore
(-x,x,0,-2x)

Ora assegno 1 alla x che varia in R ottenendo
(-1,1,0,-2) che appartiene a U intersecato V.
Ed è proprio lo stesso vettore che ho ottenuto svolgendo il sistema in funzione di t,
infatti dall'esercizio avevo ottenuto che
dim U intersecato V = 1.


Spero di non aver sbagliato nulla e di essere stata chiara ^^

[AndreaC891]

Sei stata chiarissima!
Finalmente l'ho capito..
In pratica, visto che x e y appartengono allo stesso sottospazio (in questo caso U), se trovo y in funzione di x devo sostituire la x solo alla y, non anche a z e t.
Nel caso che aveva riportato lui invece trovando tutto in funzione di t, devo sostituirla alla z che fa parte del suo stesso sottospazio (V).

Grazie! E complimenti