Esercizio in R3

[skateskate1]

Nello spazio euclideo standard E3 si dà il piano di equazione cartesiana $p: x-2y+z=0$
ed il vettore $v=(-1,1,2)$.

Trovare nel piano p un versore $w$ ortogonale sul vettore v (se esiste).

L'ho risolto impostando un sistema dove la prima equazione è data uguagliando a 0 il prodotto scalare tra il vettore v e il vettore w (le cui componenti le ho ricavate dall'equazione del piano p al quale appartiene), mentre la seconda equazione facendo la $ sqrt((2y-z)^2+(x/2+z/2)^2+(2y-x)^2)=1$.(norma di un versore)
Dal momento che i calcoli sono piuttosto complicati mi chiedevo se ci fosse un altro modo per risolvere il problema. Grazie mille!

[_prime_number]

Quel piano , dato che passa da $0$, può essere visto come il luogo dei vettori ortogonali a $w=(1,-2,1)$ (vettore trovato usando i coefficienti delle variabili). Infatti in generale il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$ per ogni $d$.

Perché non guardi la posizione di $v$ rispetto a $w$ (magari usando il prodotto scalare) e trai le tue conclusioni?

Paola

[skateskate1]

Scusami, ho cercato di capire il tuo ragionamento ma proprio non ti seguo.

Comunque la soluzione è $w=(5/sqrt(35);3/sqrt(35);1/sqrt(35))$

Grazie

[Geppo2]

Cogliendo il suggerimento di prime_number, il vettore $\vec w$ che cerchi è perpendicolare sia a $\vec v$ che a $\vec p =(1, -2, 1)$. A questo punto ti basta fare il prodotto vettoriale e normalizzare.

[skateskate1]

Ok ora ho capito. Grazie mille ad entrambi!