Esercizio gruppi di Lie

[Spremiagrumi1]

Ho preso degli esercizi un pdf che ho trovato e sto provando a svolgerli, non capisco bene la notazione
L'esercizio dice
Show that if $G=GL_n(R)$, then $G^0=GL_n^+$.

Cosa è questo $G^0$? In un altro esercizio dice che è "the connected component of the identity in G", ma non capisco bene cosa intenda. Magari risolvendo questo esercizio ed avendo un esempio concreto riesco a capirlo. Grazie in anticipo.

[pier.paolo15]

G è un gruppo, e quindi ha un elemento neutro; è anche una varietà differenziabile, e quindi uno spazio topologico, per cui si può considerare la componente connessa dell'elemento neutro, cioè il più grande sottospazio connesso di G che lo contiene. E' questo che l'esercizio ti chiede di determinare!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Spremiagrumi, l'idea è che la funzione det che manda una matrice nel suo determinante è continua, tuttavia l'immagine di tale funzione è $\{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ne 0\}$, che è uno spazio disconnesso. Quindi $GL$ stesso è disconnesso. L'idea è provare a mostrare che si spezza in due componenti connesse (le matrici a determinante positivo e quelle a determinante negativo).

[Spremiagrumi1]

Grazie, ora ho capito. Pensate che l'avevo addirittura già fatto questo esercizio. Mi aveva solo un po' confuso la notazione. o forse l'avevo fatto per il gruppo ortogonale che è simile.