Esercizio geometria: rango di una matrice rettangolare
ciao ho vagato per tanti siti nella speranza di un chiarimento su come procedere nel trovare il rango per RIGHE di una matrice NxM, ho la seguente matrice A:
1 1 2 2
2 2 3 3
5 5 -1 -1
ora...come faccio a trovare il rango per RIGHE della matrice A, si procede procede per riduzione o estraendo delle sottomatrici inferiori?
Quello che so è che il rango sarà <= di 3!
Spero di esser stato chiaro...aspetto con ansia un chiarimento...ciao e grazie!
1 1 2 2
2 2 3 3
5 5 -1 -1
ora...come faccio a trovare il rango per RIGHE della matrice A, si procede procede per riduzione o estraendo delle sottomatrici inferiori?
Quello che so è che il rango sarà <= di 3!
Spero di esser stato chiaro...aspetto con ansia un chiarimento...ciao e grazie!
Risposte
In questo caso si vede subito che il rango è uguale a 1 perchè i tre vettori sono linearmente dipendenti....
Ma se vuoi riduci con Gauss la matrice e vedrai che due righe ti si annulleranno..
Ma se vuoi riduci con Gauss la matrice e vedrai che due righe ti si annulleranno..
in che modo...mi potresti fare un esempio?
Il rango della matrice $A=((1,1,2,2),(2,2,3,3),(5,5,-1,-1))$ non è $1$. E' almeno $2$.
Infatti c'è una sottomatrice (più spesso chiamato minore) quadrata di ordine 2 (quindi con 2 righe e 2 colonne) con determinante non nullo.
architetto sei in grado di trovarla?
Infatti c'è una sottomatrice (più spesso chiamato minore) quadrata di ordine 2 (quindi con 2 righe e 2 colonne) con determinante non nullo.
architetto sei in grado di trovarla?
ciao gi e grazie millleeee per la risposta....
comunque credo di non essere in grado di trovarla o per lo meno non sono sicuro se il mio procedimento sia giusto o sbagliato...se mi puoi fare un esempio su i passaggi da fare per risolverla mi faresti un grandissimo piacere visto che un esame in questo mese e ho molti dubbi.
La traccia mi chiede di trovare il rango per RIGHE della matrice...cosa cambia nel dire: trovare il rango per RIGHE di A, che invece trovare il rango per COLONNE di B?
Grazieeee tante per la tua unica risposta che ho avuto, se mi togli questi dubbi sarò molto più sereno
comunque credo di non essere in grado di trovarla o per lo meno non sono sicuro se il mio procedimento sia giusto o sbagliato...se mi puoi fare un esempio su i passaggi da fare per risolverla mi faresti un grandissimo piacere visto che un esame in questo mese e ho molti dubbi.
La traccia mi chiede di trovare il rango per RIGHE della matrice...cosa cambia nel dire: trovare il rango per RIGHE di A, che invece trovare il rango per COLONNE di B?
Grazieeee tante per la tua unica risposta che ho avuto, se mi togli questi dubbi sarò molto più sereno
comunque anche io sono a parma e studio architettura!...tu sei studente?
1 1 2 2
2 2 3 3
5 5 -1 -1
é giusto procedere per riduzione tramite Gauss, senza estrarre la sottomatrice?
Se opero per riduzione mi esce questa matrice, è giusta?
1 1 2 2
0 0 1 1
5 5 -1 -1
1 1 2 2
0 0 1 1
0 0 11 11
il rango è uguale a 2 perchè ho 2 pivot sulla diagonale: 1 e 11?
2 2 3 3
5 5 -1 -1
é giusto procedere per riduzione tramite Gauss, senza estrarre la sottomatrice?
Se opero per riduzione mi esce questa matrice, è giusta?
1 1 2 2
0 0 1 1
5 5 -1 -1
1 1 2 2
0 0 1 1
0 0 11 11
il rango è uguale a 2 perchè ho 2 pivot sulla diagonale: 1 e 11?
Il rango è 2, ma non per il motivo che dici tu. E poi quella riduzione è sbagliata.
Dunque, hai questa matrice: [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & -1 & -1\end{bmatrix}$[/tex]
ora sottrai alla seconda riga la prima moltiplicata per 2, alla terza la prima moltiplicata per 5 e ottieni [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -11 & -11\end{bmatrix}$[/tex]
Però non hai ancora finito, perché seconda e terza riga sono linearmente dipendenti. La matrice che risulta da questa riduzione è [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$[/tex]
A questo punto puoi vedere che il rango è effettivamente uguale a 2, ma il motivo è che i pivot sono 2, la diagonale non centra.
In ogni caso, per trovare il rango di una matrice puoi operare per righe oppure usare il teorema degli orlati, a tua discrezione.
Se hai ancora dubbi chiedi pure!
Dunque, hai questa matrice: [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & -1 & -1\end{bmatrix}$[/tex]
ora sottrai alla seconda riga la prima moltiplicata per 2, alla terza la prima moltiplicata per 5 e ottieni [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -11 & -11\end{bmatrix}$[/tex]
Però non hai ancora finito, perché seconda e terza riga sono linearmente dipendenti. La matrice che risulta da questa riduzione è [tex]$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$[/tex]
A questo punto puoi vedere che il rango è effettivamente uguale a 2, ma il motivo è che i pivot sono 2, la diagonale non centra.
In ogni caso, per trovare il rango di una matrice puoi operare per righe oppure usare il teorema degli orlati, a tua discrezione.
Se hai ancora dubbi chiedi pure!
ciao titania e grazie.....la cosa che non mi è chiara è come fai a dire che i pivot sono due nella tua ultima matrice ridotta, pechè io so che i pivot in questa matrice possono essere al massimo 3 diversi da 0 e ne abbiamo solo uno:1 (gli altri 2 sono 0 e 0 sulla diagonale ) non so se ho capito bene allora il metodo.
quali sono i 2 pivot?
Mi conveniva di piu usare il teorema degli orlati?
ps:
nell'operazione di riduzione della matrice quando andiamo a moltiplicare la prima riga ( 1 1 2 2 ) X 5 e la sottraiamo alla terza riga ( 5 5 -1 -1) otteniamo 0 0 9 9 ( dimmi che il tuo -11 -11 è un errore ti prego
)
quali sono i 2 pivot?
Mi conveniva di piu usare il teorema degli orlati?
ps:
nell'operazione di riduzione della matrice quando andiamo a moltiplicare la prima riga ( 1 1 2 2 ) X 5 e la sottraiamo alla terza riga ( 5 5 -1 -1) otteniamo 0 0 9 9 ( dimmi che il tuo -11 -11 è un errore ti prego
)
Il problema è che abbiamo una matrice rettangolare, non quadrata.
Quindi non c'entra la diagonale con i pivot, come diceva Titania.
Riprendiamo la matrice: $A=((1,1,2,2),(2,2,3,3),(5,5,-1,-1))$
Consideriamo il minore relativo alle prime 2 righe e alla seconda e terza colonna: $((1,2),(2,3))$
Quanto viene il determinante?
Quindi non c'entra la diagonale con i pivot, come diceva Titania.
"architetto":Decisamente sì.
Mi conveniva di piu usare il teorema degli orlati?
Riprendiamo la matrice: $A=((1,1,2,2),(2,2,3,3),(5,5,-1,-1))$
Consideriamo il minore relativo alle prime 2 righe e alla seconda e terza colonna: $((1,2),(2,3))$
Quanto viene il determinante?
-1..
determinante matrice 2x2 diverso da 0..e quindi il rango è 2...giusto?
Da quello che dici mi sembra che tu abbia capito il metodo, ma che non ti sia chiara la definizione di pivot, che non ha niente a che fare con la diagonale (peraltro, parlare di diagonali ha senso solo con matrici quadrate).
Un pivot è semplicemente, in una matrice a scala, la prima entrata diversa da zero su una certa riga.
Per quanto riguarda il teorema degli orlati, in questo caso mi sembra fosse abbastanza indifferente.
In ogni caso, io non lo uso quasi mai e vivo bene lo stesso, ma è solo questione di gusti!
Un pivot è semplicemente, in una matrice a scala, la prima entrata diversa da zero su una certa riga.
Per quanto riguarda il teorema degli orlati, in questo caso mi sembra fosse abbastanza indifferente.
In ogni caso, io non lo uso quasi mai e vivo bene lo stesso, ma è solo questione di gusti!
Più, precisamente, il rango è almeno 2. Che sia esattamente 2 dobbiamo ancora dimostrarlo.
Per farlo, "orliamo" questo minore. Abbiamo solo due possibili "orlate": $((1,1,2),(2,2,3),(5,5,-1))$ e $((1,2,2),(2,3,3),(5,-1,-1))$
Se entrambi hanno determinante nullo (a te i conti
), allora (per il teorema degli orlati)puoi dire che il rango è proprio 2. Altrimenti il rango è 3. Ok?
Per farlo, "orliamo" questo minore. Abbiamo solo due possibili "orlate": $((1,1,2),(2,2,3),(5,5,-1))$ e $((1,2,2),(2,3,3),(5,-1,-1))$
Se entrambi hanno determinante nullo (a te i conti
), allora (per il teorema degli orlati)puoi dire che il rango è proprio 2. Altrimenti il rango è 3. Ok?
@Gi8: pardon, ci siamo sovrapposti!
"Titania":No problem
@Gi8: pardon, ci siamo sovrapposti!
"Titania":Certo
Per quanto riguarda il teorema degli orlati (....) io non lo uso quasi mai e vivo bene lo stesso, ma è solo questione di gusti!
"architetto":
dimmi che il tuo -11 -11 è un errore ti prego
Beh, no. Quanto fa [tex]-1 -10[/tex]?
scusa allora non conviene iniziare ad orlare la matrice prima 3x3 e poi 2x2?
cmq credo di aver capito, ma come mi conviene operare sulle matrici 4x3 come in questo caso, con la riduzione o con i possibili orlati?
cmq credo di aver capito, ma come mi conviene operare sulle matrici 4x3 come in questo caso, con la riduzione o con i possibili orlati?
Orlare significa aggiungere una riga e una colonna ad una matrice. Quindi per orlare bisogna partire da matrici di ordine basso e progressivamente aumentare.
Come ha detto Titania, è indifferente. Scegli il metodo che più ti aggrada e in cui ti trovi meglio
"architetto":
come mi conviene operare sulle matrici 4x3 come in questo caso, con la riduzione o con i possibili orlati?
Come ha detto Titania, è indifferente. Scegli il metodo che più ti aggrada e in cui ti trovi meglio
ok..allora i possibili orlati minori inizio con la 2x2 qualsiasi...se ALMENO UNA ha il determinante è diverso da 0 allora il rango è minimo 2, se poi anche ALMENO UNA sottomatrice 3x3 possibile ha il determinate diverso da 0 allora il rango è massimo 3,,,finisce qua il mio esercizio..devo provare tutte le sottomatrici giusto,,,
grazie moltissimo delle vostre risposte che mi hanno schiarito le idee
grazie moltissimo delle vostre risposte che mi hanno schiarito le idee
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