Esercizio geometria proiettiva
Vorrei avere alcune delucidazioni su un esercizio di geometria proiettiva, vorrei sapere se svolgo correttamente alcuni punti.
Si consideri la conica $C$ di equazione $3x^2+4xy-9x-8y+11=0$
Si determini:
(1) Il tipo affine della conica.
Questo è piuttosto immediato, ho semplicemente portato l'equazione in coordinate omogenee:
$C: 3x_1^2+4x_1x_2-9x_1x_0-8x_2x_0+11x_0^2 = 0$
Da questa mi sono ricavato la matrice associata alla conica, ottengo:
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}
11 & -9/2 & -4\\
-9/2 & 3 & 2\\
-4 & 2 & 0\\
\end{matrix}\right]
\)
E calcolo:
$detA = -20$ Da cui ricavo che la conica è non degenere. E osservando che $detA_0 < 0$ ricavo che è un'iperbole.
(2) La forma canonica metrica della conica.
Poiché è una iperbole la forma canonica metrica sarà del tipo:
$ \alpha x^2 + \beta y^2 = \delta $
con $\alpha \beta (-\delta) = -20$
E poiché gli autovalori di $A_0$ sono $4$ e $-1$ ottengo che $\delta = -5$
Dunque la forma canonica metrica è $ 4x^2 - y^2 = -5 $
(3) Determinare le formule di cambiamento di coordinate necessario per la riduzione a forma canonica metrica e le equazioni nelle coordinate originarie degli assi coordinati rispetto ai quali $C$ è in forma canonica metrica.
Io ho semplicemente trovato il centro della conica $P_C : [ 1 , 2 , -3/4 ] $ ed ho prima traslato la conica con la matrice:
\(\displaystyle T= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
-3/4 & 0 & 1\\
\end{matrix}\right]
\)
Successivamente ho osservato che $ (2, 1) $ e $ (-1/2, 1) $ sono autovettori della matrice $A_0$ dunque questa può essere diagonalizzata con una matrice ortogonale che corrisponde ad una rotazione nel piano affine. Dunque in definitiva ottengo che la matrice che mi rappresenta tutti i movimenti euclidei che mi servono per portare $C$ in forma canonica metrica è:
\(\displaystyle M= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 2/sqrt(5) & -1/sqrt(5)\\
-3/4 & 1/sqrt(5) & 2/sqrt(5)\\
\end{matrix}\right]
\)
Per l'altra parte del punto ho pensato che basta applicare la matrice $M$ agli assi della conica in forma canonica. E' corretto?
Mi spiego meglio, io applicherei la matrice che ho trovato a due punti di ognuno degli assi, successivamente costruisco le rette per tali punti e trovo gli assi, ed infatti facendo poi l'intersezione tra tali rette ottengo il centro trovato all'inizio.
Altrimenti l'altra strategia potrebbe essere di applicare al generico punto di ognuno degli assi la matrice inversa di quella che ho trovato. E' corretto?
Si consideri la conica $C$ di equazione $3x^2+4xy-9x-8y+11=0$
Si determini:
(1) Il tipo affine della conica.
Questo è piuttosto immediato, ho semplicemente portato l'equazione in coordinate omogenee:
$C: 3x_1^2+4x_1x_2-9x_1x_0-8x_2x_0+11x_0^2 = 0$
Da questa mi sono ricavato la matrice associata alla conica, ottengo:
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}
11 & -9/2 & -4\\
-9/2 & 3 & 2\\
-4 & 2 & 0\\
\end{matrix}\right]
\)
E calcolo:
$detA = -20$ Da cui ricavo che la conica è non degenere. E osservando che $detA_0 < 0$ ricavo che è un'iperbole.
(2) La forma canonica metrica della conica.
Poiché è una iperbole la forma canonica metrica sarà del tipo:
$ \alpha x^2 + \beta y^2 = \delta $
con $\alpha \beta (-\delta) = -20$
E poiché gli autovalori di $A_0$ sono $4$ e $-1$ ottengo che $\delta = -5$
Dunque la forma canonica metrica è $ 4x^2 - y^2 = -5 $
(3) Determinare le formule di cambiamento di coordinate necessario per la riduzione a forma canonica metrica e le equazioni nelle coordinate originarie degli assi coordinati rispetto ai quali $C$ è in forma canonica metrica.
Io ho semplicemente trovato il centro della conica $P_C : [ 1 , 2 , -3/4 ] $ ed ho prima traslato la conica con la matrice:
\(\displaystyle T= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
-3/4 & 0 & 1\\
\end{matrix}\right]
\)
Successivamente ho osservato che $ (2, 1) $ e $ (-1/2, 1) $ sono autovettori della matrice $A_0$ dunque questa può essere diagonalizzata con una matrice ortogonale che corrisponde ad una rotazione nel piano affine. Dunque in definitiva ottengo che la matrice che mi rappresenta tutti i movimenti euclidei che mi servono per portare $C$ in forma canonica metrica è:
\(\displaystyle M= \left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 2/sqrt(5) & -1/sqrt(5)\\
-3/4 & 1/sqrt(5) & 2/sqrt(5)\\
\end{matrix}\right]
\)
Per l'altra parte del punto ho pensato che basta applicare la matrice $M$ agli assi della conica in forma canonica. E' corretto?
Mi spiego meglio, io applicherei la matrice che ho trovato a due punti di ognuno degli assi, successivamente costruisco le rette per tali punti e trovo gli assi, ed infatti facendo poi l'intersezione tra tali rette ottengo il centro trovato all'inizio.
Altrimenti l'altra strategia potrebbe essere di applicare al generico punto di ognuno degli assi la matrice inversa di quella che ho trovato. E' corretto?
Risposte
"jJjjJ":Perché?, oppure io ho un vuoto di memoria?
... E osservando che $detA_0 < 0$ ricavo che è un'iperbole...
Domanda stupida: dato che non ho ancora affrontato la geometria proiettiva, qual'è la differenza fra lo studio di una conica/quadrica in coordinate affini o proiettive? Dal punto di vista operativo, non formale.
Comunque in coordinate affini quel determinante minore di 0 garantisce che la conica sia un iperbole, non so se qui cambi qualcosa ^^
Comunque in coordinate affini quel determinante minore di 0 garantisce che la conica sia un iperbole, non so se qui cambi qualcosa ^^
Una risposta facile e leggera che mi viene in mente, è che l'estensione dallo spazio affine allo spazio proiettivo facilita la classificazione delle quadriche, facilita l'introduzione dei concetti di tangenza e di asintoto; e, stranamente per il principiante, consente di "vedere" più cose.
EDIT Ho scritto direttamente "il caso generale"!
EDIT Ho scritto direttamente "il caso generale"!
"Ernesto01":Nel piano proiettivo tutte le coniche sono "uguali": sono tutte ellissi. Guardare una tale conica proiettiva dal punto di vista affine significa scegliere una retta che rappresenti l'infinito (quindi il piano proiettivo contiene infiniti piani affini! Ognuno corrisponde alla scelta di una retta all'infinito). Formalmente se [tex]P[/tex] è il tuo piano proiettivo e [tex]r[/tex] è una sua retta allora [tex]P-r = \{x \in P\ :\ x \not \in r\}[/tex] è un piano affine (e [tex]r[/tex] rappresenta l'infinito di questo piano affine, cioè le direzioni! Due rette affini che non si intersecano nell'affine sono parallele, cioè hanno la direzione in comune : puoi cioè pensare che due rette parallele "si incontrano nella loro direzione", essendo la loro direzione un punto della retta all'infinito).
Domanda stupida: dato che non ho ancora affrontato la geometria proiettiva, qual'è la differenza fra lo studio di una conica/quadrica in coordinate affini o proiettive? Dal punto di vista operativo, non formale.
Se la retta che scegli non interseca la conica allora l'infinito rimane ben lontano, quindi tale conica rimane un'ellisse nell'affine.
Se la retta è tangente alla conica allora hai una parabola: immagina i due rami della parabola che si riunificano all'infinito per "tangere" la retta proiettiva che rappresenta l'infinito.
E se la retta-infinito è secante in due punti distinti? Allora hai un'iperbole (in effetti una retta secante divide un'ellisse in due pezzi, che nell'affine diventano i due rami dell'iperbole). Prova a fare un disegno.
Esempio, [tex]y=x^2[/tex] è una parabola. Ora poniamo [tex]x=x_1/x_0[/tex] e [tex]y=x_2/x_0[/tex] (coordinate proiettive). Sostituendo abbiamo [tex]x_2/x_0 = (x_1/x_0)^2[/tex] e moltiplicando per [tex]x_0^2[/tex] abbiamo [tex]x_0x_2 = x_1^2[/tex]. La conica affine di partenza si ritrova imponendo come retta all'infinito la retta [tex]x_0=0[/tex]. Ora facciamo fare a [tex]x_1[/tex] il ruolo che prima era di [tex]x_0[/tex] (cioè scegliamo come retta all'infinito la retta [tex]x_1=0[/tex] !!), cioè dividiamo tutto per [tex]x_1^2[/tex], allora abbiamo [tex](x_0/x_1)(x_2/x_1) = 1[/tex], da cui definendo [tex]z = x_0/x_1[/tex] e [tex]w = x_2/x_1[/tex] abbiamo [tex]zw=1[/tex] che è l'equazione di un'iperbole! Cos'abbiamo fatto? Abbiamo preso una parabola affine, l'abbiamo guardata nel proiettivo, dove è un'ellisse che è tangente alla retta all'infinito, e poi abbiamo preso tale retta e l'abbiamo spostata in modo che intersechi l'ellisse proiettiva in due punti distinti, così da ottenere un'iperbole appunto nel piano affine ottenuto scegliendo questa nuova retta come l'infinito.
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