Esercizio Geometria nello spazio

[peppeunummiruunu]

Salve a tutti, non riesco a risolvere due problemi, il primo dice: si considerino le rette $ r: x+y-4=2x-z-4=0 e s: y-z-1=x-y=0 $. Determinare l'equazione cartesiana della retta appartente al piano $ y=z $ che sia incidente con r ed ortogonale con s.
Il secondo problema dice: Si determina l 'equazione della retta parallela al piano π: x - y +2z +1=0, passante per P (1,0,1) e incidente la retta $ t: x-y=z-2=0 $
Nel primo problem ho pensato che il piano che da l esercizio sia uno dei due che forma il sistema per ricavare la retta, il secondo lo si dovrebbe trovare sfruttando i parametri direttori di s, ma non so come usare l incidenza con r.
Stesso problema con il secondo esercizio, non so come sfruttare l incidenza con t. Vi chiedo qualche consiglio sulla risoluzione, grazie anticipatamente.

[Sk_Anonymous]

Siano :
u la retta richiesta ; $alpha :y=z$ il piano che deve contenere u; $U=(8/3,4/3,4/3)$ l'intersezione di r con $alpha$; P( x,y,z) il generico punto di u. Poiché u giace in $alpha$ e incide la retta r, è chiaro che U appartiene ad u. Ne segue che il vettore direzionale di u è : $P-U=(x-8/3,y-4/3,z-4/3)$
D'altra parte il vettore direzionale della retta s è : $v=(1,1,1)$ e quindi, imponendo la condizione di ortogonalità tra P-U e v si ha la relazione :
$1 cdot (x-8/3)+1 cdot (y-4/3) +1 cdot(z-4/3)=0$ da cui l'equazione $x+y+z=16/3$
Pertanto le equazioni di u sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z=\frac{16}{3}\\y=z\end{cases} \)

[peppeunummiruunu]

Grazie mille ciromario
edit: a me il punto $ U $ d intersezione tra $ r $ e il piano $ alfa $ ha coordinate $ (1,2,2) $ , sbaglio io?

[Sk_Anonymous]

Non mi pare che il punto $(1,2,2)$ sia l'intersezione tra $r$ ed $alpha$. Basta osservare che le coordinate di quel punto non soddisfano le due equazioni della retta $r$ come invece accade per il punto $(8/3,4/3,4/3)$