Esercizio geometria e algebra
Fissato un sistema di rifermento affine RA(O,A1,A2,A3)nello spazio A3 trova equazioni parametriche per le rette r ed s di equazioni cartesiane SISTEMA:x+y+z=5;2x-y+3z=2 e s: x-2y+6z=1;3x-y-2z=-2 e poi dice trovare equazioni cartesiane e parametriche del piano che le contiene.. Allora praticamente ho pravato a svolgere i due sistemi che essendo due piani in R3 dovrebbero venire appunto una retta di soluzioni giusto? quindo ho ridotto a scalini e ho messo la variabile libera alla colonna 3 quindi z=t e ho risolto i due sistemi così... le soluzioni mi vengono per la retta r : z=t;y=8/3+t3;x=-4/3t+7/3 già qua le soluzioni non corrispondono perchè il libro scrive a sistema ovviamente x=5+4t ; y=2-t ; Z=-2-3t ora non vi stò a dire i risultati della retta s tanto non tornano neanche quelli potete dirmi cosa sbaglio? perfavore ho un esame tra una settimana e inciampo su queste cose,mi sento stupido! se c'è qualcosa nel testo che non capite ditemelo ma perfavore rispondete. grazie lorenzo
Risposte
la cosa che non mi torna è che risolvendo il sistema il libro trova sia x,y,z in funzione di t e non capisco perchè dato che a me verrebbe logico porre una delle variabili possibilmente z perchè è la colonna libera uguale a t! qualcuno mi toglie questo dilemma sto impazzendo
Le tue equazioni parametriche sono corrette. Puoi convincertene sostituendo le espressioni di x, y e z nelle equazioni cartesiane e otterrai delle identità. Le equazioni parametriche, come del resto quelle cartesiane, non sono univoche; deve corrispondere però il vettore direzionale: il tuo $(-4/3, 1/3, 1)$ è infatti linearmente dipendente da quello indicato dal libro $(4, -1, -3)$. Nelle equazioni parametriche di una retta $((x),(y),(z))=((x_0),(y_0),(z_0))+t((v_x),(v_y),(v_z))$. Il vettore direzionale $v$ lo puoi trovare come hai fatto tu o calcolando i minori della matrice $((1, 1, 1),(2, -1, 3))$, mentre il punto $P_0$ lo puoi ottenere risolvendo il sistema cartesiano assegnando un valore a piacere ad una variabile, es $x=1$, oppure, $z=-2$, per ottenere i risultati del libro. Comunque io preferisco il tuo metodo.
ma scusa per il punto Po non ho già i valore cioè (5; 8/3 ;7/3)?
Il tuo $P_0$ è $(7/3, 8/3, 0)$, ma può essere sostituito, nell'equazione parametrica, da un qualsiasi altro punto della retta.
su cui giace il punto po?
no aspetta mi chiarisci bene questo concetto...allora po sarebbe il punto su cui si costrusce la retta a partire dal vettore direttore? e perchè posso sostituirlo? io praticamente dopo ho usato e po che mi ero ricavato dalle due equazioni e ho messo e sistema le due rette ma non mi torna il risultato cioè il punto di intersezione che d'essere (1,3,1) poi non ho capito una cosa quando ho una retta nello spazio perchè per scrivere l'equazione vettoriale di una retta nel piano non si scrive semplicemente t e poi le coordinate del vettore viene una retta comunque senza bisogno del vettore direttore...
"fuce93":
no aspetta mi chiarisci bene questo concetto...allora po sarebbe il punto su cui si costrusce la retta a partire dal vettore direttore? e perchè posso sostituirlo?
Una retta, in forma parametrica, è costruita partendo da un punto e da una direzione. Mi sembra intuitivo pensare che ogni punto della retta possa andar bene.
"fuce93":
io praticamente dopo ho usato e po che mi ero ricavato dalle due equazioni e ho messo e sistema le due rette ma non mi torna il risultato cioè il punto di intersezione che d'essere (1,3,1)
Se fai bene i conti dovresti trovare il risultato giusto.
"fuce93":
poi non ho capito una cosa quando ho una retta nello spazio perchè per scrivere l'equazione vettoriale di una retta nel piano non si scrive semplicemente t e poi le coordinate del vettore viene una retta comunque senza bisogno del vettore direttore...
Puoi spiegarti meglio?
non capisco cioè come può schizzare fuori un risultato del vettore OPo non capisco se quel vettore Opo è costante cioè sta lì fermo e tutte le volte ci applico la regola del parallelogramma secondo la formula OP=OPo+tOQ senno perchè mi è uscito fuori un altro valore?
"fuce93":
non capisco cioè come può schizzare fuori un risultato del vettore OPo non capisco se quel vettore Opo è costante cioè sta lì fermo e tutte le volte ci applico la regola del parallelogramma secondo la formula OP=OPo+tOQ senno perchè mi è uscito fuori un altro valore?
Puoi divertirti, con semplici calcoli, a passare dall'equazione cartesiana a quella parametrica definendo diversamente il parametro. Puoi porre $y=t$ ed ottenere un certo $P_0$ e un certo $v$. Puoi porre, che so io, $x=1+3t$ ed ottenere un diverso $P_0$ e $v$ (però "dipendente" rispetto a quello precedente)e così via. Queste equazioni risulteranno comunque equivalenti, cioè generano lo stesso luogo di punti. Naturalmente un punto generato da un certo $t$ in una equazione, sarà generato da un diverso valore del parametro nell'altra equazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo