Esercizio geometria analitica
Scrivere l'equazione cartesiana del piano $pi$ contenente la retta $r={(x=t+1), (y=-t), (z=3t):}$ e passante per il punto $P-=(5, 1, -3)$
Il fatto è che sul libro in cui l'ho trovato lo risolve utilizzando il determinante mentre il nostro prof non ci ha spiegato come utilizzare il determinante ma a risolverli con altre modalità.
Questo è quello che ho pensato di fare:
1)Trasformo l'equazioni della retta da parametriche a cartesiane sostituendo t
$r={(x+y-1=0), (z+3y=0):}$
2)Mi scrivo il fascio di piani di asse r
$lambda(x+y-1=0)+mu(z+3y)=0$
A questo punto però ho qualche difficoltà perché sul mio libro c'è scritto che si può scrivere l'equazione di un piano di asse r e passante per P semplicemente sostituendo le coordinate del punto all'interno del fascio. Si ottiene una equazione omogenea dalla quale si ricava $lambda$ e $mu$ e se vengono diversi da 0 allora il gioco è fatto. Il fatto è che se sostituisco le coordinate mi vengono entrambi 0. Cosa posso fare?
Grazie 1000!
Il fatto è che sul libro in cui l'ho trovato lo risolve utilizzando il determinante mentre il nostro prof non ci ha spiegato come utilizzare il determinante ma a risolverli con altre modalità.
Questo è quello che ho pensato di fare:
1)Trasformo l'equazioni della retta da parametriche a cartesiane sostituendo t
$r={(x+y-1=0), (z+3y=0):}$
2)Mi scrivo il fascio di piani di asse r
$lambda(x+y-1=0)+mu(z+3y)=0$
A questo punto però ho qualche difficoltà perché sul mio libro c'è scritto che si può scrivere l'equazione di un piano di asse r e passante per P semplicemente sostituendo le coordinate del punto all'interno del fascio. Si ottiene una equazione omogenea dalla quale si ricava $lambda$ e $mu$ e se vengono diversi da 0 allora il gioco è fatto. Il fatto è che se sostituisco le coordinate mi vengono entrambi 0. Cosa posso fare?
Grazie 1000!
Risposte
Il piano $ pi)z+3y = 0 $ è la soluzione in quanto $P in pi $.
Ummm il risultato è giusto, però non riesco a capire il ragionamento che ci sta dietro.
Dalla equazione della retta in forma parametrica hai ricavato quella in forma cartesiana, data dall'incrocio di due piani : corretto .
Ora la soluzione standard prevede che tu faccia la combinazione lineare dei 2 piani , cioè che scriva l'equazione del fascio di piani che individuano la retta, per trovare quale piano contiene la retta e anche il punto P .
Sintetizziamo la situazione così : $ lambda*pi_1 +mu*pi_2 = 0 $ sia l'equazione del fascio di piani .
E' chiaro che se $P in pi_1 $ avrai sostituendo le coordinate di P : $ lambda*0+mu*pi_2 = 0 $ da cui $mu=0 $ e $lambda= $ qualunque(attenzione qualunque non zero ! ) e l'equazione del piano cercato sarà : $lambda*pi_1 = 0 $ cioè $pi_1 = 0 $.
Nell'esercizio il piano cercato è proprio uno dei due che formano il fascio $ z+3y = 0 $ .
Ora la soluzione standard prevede che tu faccia la combinazione lineare dei 2 piani , cioè che scriva l'equazione del fascio di piani che individuano la retta, per trovare quale piano contiene la retta e anche il punto P .
Sintetizziamo la situazione così : $ lambda*pi_1 +mu*pi_2 = 0 $ sia l'equazione del fascio di piani .
E' chiaro che se $P in pi_1 $ avrai sostituendo le coordinate di P : $ lambda*0+mu*pi_2 = 0 $ da cui $mu=0 $ e $lambda= $ qualunque(attenzione qualunque non zero ! ) e l'equazione del piano cercato sarà : $lambda*pi_1 = 0 $ cioè $pi_1 = 0 $.
Nell'esercizio il piano cercato è proprio uno dei due che formano il fascio $ z+3y = 0 $ .
Ok, adesso ho capito grazie 1000. Sostanzialmente mi viene che $lambda$ deve essere uguale a zero e quindi il suo piano se ne va. Mentre $mu$ essendo moltiplicato per 0 può assumere qualsiasi valore che, in questo caso scelgo per comodità uguale ad 1.
E' questo il ragionamento?
E' questo il ragionamento?
Il ragionamento è questo anche se mi sembra che rispetto al mio esempio ultiomo hai scambiato $ lambda $ con $ mu $ .
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