Esercizio Geometria
Salve!
Volevo sapere se sono giusti i miei ragionamenti riguardo quest'esercizio :
Prima di tutto determino la dimensione di $H$, calcolando il rango di $((1,-1,0,1),(2,1,1,0),(3,0,1,1),(0,1,-1,0))$, trovando che $dim(H)=3$ e $B_H={(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0)}$.
A questo punto so che $H$ ha $n-h$ equazioni $(4-3=1)$, e le calcolo da $((x,y,z,t),(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0))$ orlando il minore fondamentale $((1,-1),(2,1))$, da ciò ho che l'equazione di $H$ è $x-3z+y=0$.
Riguardo ai valori di $t$ per cui $u in H$, ho calcolato il rango della matrice completa $((1,-1,0,1,|1),(2,1,1,0,|-1),(3,0,1,1,|2t-8),(0,1,-1,0,|t+1))$, ed ho che $u in H$ per qualsiasi valore di $t$, anche se non credo sia corretto, poichè quando vado a calcolare il coordinato di $u$ nella base $B_H$, ho che il sistema è incompatibile, come è possibile??.
Per l'ultima parte, suppongo che per calcolare il complemento ortogonale, risolvo il sistema omogeneo associato alla base di $H$, in seguito, poichè il complemento ortogonale è un sottospazio supplementare ho che $dim(H^\bot)=1$, avente $n-h=3$ equazioni.
Grazie in anticipo!
Volevo sapere se sono giusti i miei ragionamenti riguardo quest'esercizio :
Prima di tutto determino la dimensione di $H$, calcolando il rango di $((1,-1,0,1),(2,1,1,0),(3,0,1,1),(0,1,-1,0))$, trovando che $dim(H)=3$ e $B_H={(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0)}$.
A questo punto so che $H$ ha $n-h$ equazioni $(4-3=1)$, e le calcolo da $((x,y,z,t),(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0))$ orlando il minore fondamentale $((1,-1),(2,1))$, da ciò ho che l'equazione di $H$ è $x-3z+y=0$.
Riguardo ai valori di $t$ per cui $u in H$, ho calcolato il rango della matrice completa $((1,-1,0,1,|1),(2,1,1,0,|-1),(3,0,1,1,|2t-8),(0,1,-1,0,|t+1))$, ed ho che $u in H$ per qualsiasi valore di $t$, anche se non credo sia corretto, poichè quando vado a calcolare il coordinato di $u$ nella base $B_H$, ho che il sistema è incompatibile, come è possibile??.
Per l'ultima parte, suppongo che per calcolare il complemento ortogonale, risolvo il sistema omogeneo associato alla base di $H$, in seguito, poichè il complemento ortogonale è un sottospazio supplementare ho che $dim(H^\bot)=1$, avente $n-h=3$ equazioni.
Grazie in anticipo!
Risposte
Gentilmente una risposta in giornata! Grazie!
quindi per il coordinato lo trovo risolvendo il sistema :
$x+2y=1$
$-x+y+z=-1$
$y-z=0$
$x=5$
e trovo che $C_B(u)=(5,-2,6)$ giusto?
$x+2y=1$
$-x+y+z=-1$
$y-z=0$
$x=5$
e trovo che $C_B(u)=(5,-2,6)$ giusto?
L'equazione cartesiana di H non è quella da te indicata.Basta osservare che il vettore (0,1,-1,0) non verifica tale equazione.
L'equazione è invece \(\displaystyle x-y-z-2w=0 \)
Per il calcolo di t io imporrei semplicemente la condizione che le coordinate di u soddisfino l'equazione di H:
\(\displaystyle 1+1-2t+8-2t-2=0 \) da cui \(\displaystyle t=2 \).Per questo valore di t il vettore coordinato di u rispetto alla base di H è (3,-1,3)
Se (x,y,z,w) è il generico vettore del complemento ortogonale di H deve essere verificato il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}x-y+w=0\\2x+y+z=0\\y-z=0 \end{cases}\)
e queste equazioni sono quelle cercate.
L'equazione è invece \(\displaystyle x-y-z-2w=0 \)
Per il calcolo di t io imporrei semplicemente la condizione che le coordinate di u soddisfino l'equazione di H:
\(\displaystyle 1+1-2t+8-2t-2=0 \) da cui \(\displaystyle t=2 \).Per questo valore di t il vettore coordinato di u rispetto alla base di H è (3,-1,3)
Se (x,y,z,w) è il generico vettore del complemento ortogonale di H deve essere verificato il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}x-y+w=0\\2x+y+z=0\\y-z=0 \end{cases}\)
e queste equazioni sono quelle cercate.
"juelz92":
Salve!
Prima di tutto determino la dimensione di $H$, calcolando il rango di $((1,-1,0,1),(2,1,1,0),(3,0,1,1),(0,1,-1,0))$, trovando che $dim(H)=3$ e $B_H={(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0)}$.
A questo punto so che $H$ ha $n-h$ equazioni $(4-3=1)$, e le calcolo da $((x,y,z,t),(1,-1,0,1),(2,1,1,0),(0,1,-1,0))$ orlando il minore fondamentale $((1,-1),(2,1))$, da ciò ho che l'equazione di $H$ è $x-3z+y=0$.
Quindi questa parte è sbagliata! Potresti indicarmi dove ho sbagliato?
Grazie!
Espongo il mio metodo (che non credo molto diverso dal tuo ma mi ...trovo meglio così ! 
).
Scrivo la matrice che ha per righe la base di H e il vettore generico:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-1&0&1\\2&1&1&0\\0&1&-1&0\\x&y&z&w\end{vmatrix}\)
La riduco a forma a scalini ed ho ,con qualche semplificazione, l'altra matrice:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-1&0&1\\0&3&1&-2\\0&0&-2&1\\0&0&0&3x-3y-3z-6w\end{vmatrix}\)
Eguaglio a zero i termini non nulli dell'ultima riga ed ottengo appunto:
\(\displaystyle x-y-z-2w=0 \)
).Scrivo la matrice che ha per righe la base di H e il vettore generico:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-1&0&1\\2&1&1&0\\0&1&-1&0\\x&y&z&w\end{vmatrix}\)
La riduco a forma a scalini ed ho ,con qualche semplificazione, l'altra matrice:
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-1&0&1\\0&3&1&-2\\0&0&-2&1\\0&0&0&3x-3y-3z-6w\end{vmatrix}\)
Eguaglio a zero i termini non nulli dell'ultima riga ed ottengo appunto:
\(\displaystyle x-y-z-2w=0 \)
Ah...ecco! non ero a conoscenza di questo metodo.^^ Grazie mille!
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