Esercizio Geometria
Oggi ho avuto l'esame scritto di Algebra e geometria.
C'era un esercizio di questo genere:
Determinare la retta $r$ giacente nel piano $x-2y+3z-1=0$, incidente alla retta $x-y=2x-z+2=0$ e parallela al piano $x-y+2z-3=0$
L'ho risolto in questo modo: Ho trovato il punto di intersezione tra la retta $r$ e il piano $x-2y+3z-1=0$ risolvendo il sistema.
Dopo ho studiato la famiglia di piani paralleli a $x-y+2z-3=0$ cioè $x-y+2z+k=0$. ho imposto il passaggio per il punto di intersezione tra la retta $r$ e il piano trovando il valore di k. La retta $s$ che dovevo trovare è data dall'intersezione tra il piano che ho trovato e il piano dove giace $s$.
Secondo voi ho sbagliato il ragionamento?
C'era un esercizio di questo genere:
Determinare la retta $r$ giacente nel piano $x-2y+3z-1=0$, incidente alla retta $x-y=2x-z+2=0$ e parallela al piano $x-y+2z-3=0$
L'ho risolto in questo modo: Ho trovato il punto di intersezione tra la retta $r$ e il piano $x-2y+3z-1=0$ risolvendo il sistema.
Dopo ho studiato la famiglia di piani paralleli a $x-y+2z-3=0$ cioè $x-y+2z+k=0$. ho imposto il passaggio per il punto di intersezione tra la retta $r$ e il piano trovando il valore di k. La retta $s$ che dovevo trovare è data dall'intersezione tra il piano che ho trovato e il piano dove giace $s$.
Secondo voi ho sbagliato il ragionamento?
Risposte
Nessuno risponde?
Questa notte mi sa che non dormirò per il pensiero.. Spero di non aver sbagliato tecnica..
Questa notte mi sa che non dormirò per il pensiero.. Spero di non aver sbagliato tecnica..
Penso che puoi dormire tranquillo...Il procedimento e' concettualmente
esatto e la retta dovrebbe essere data da :
${(x-y+2z=0),(x-2y+3z-1=0):}$
Oppure in forma esplicita:
$(x+1)/(-1)=(y+1)/1=z/1$
Ho controllato il risultato con un procedimento differente e corrisponde.
karl
esatto e la retta dovrebbe essere data da :
${(x-y+2z=0),(x-2y+3z-1=0):}$
Oppure in forma esplicita:
$(x+1)/(-1)=(y+1)/1=z/1$
Ho controllato il risultato con un procedimento differente e corrisponde.
karl
Ti ringrazio tantissimo ma mi sa mi sa che non dormirò... 
Ho sbagliato qualche calcolo nel sistema alterando di conseguenza il risultato.. Mannaggia!!
Speriamo che il prof. guardi il procedimento..
C'era anche un altro esercizio di Geometria.. Se ho sbagliato anche questo sono fritto!!
Nel pianp $z=0$ costruire e studiare il fascio di coniche aventi come asse di simmetria la retta $ r: x+y=z=0$ e passanti per i punti $A=(1,-1,0)$ e $B=(0,-4,0)$. Verificare se esistono nel fascio iperboli equilatere e circonferenze.
Com'è l'equazione della conica?
Se ho sbagliato pure questo sono morto!!.. Help me!!
Ho sbagliato qualche calcolo nel sistema alterando di conseguenza il risultato.. Mannaggia!!
Speriamo che il prof. guardi il procedimento..
C'era anche un altro esercizio di Geometria.. Se ho sbagliato anche questo sono fritto!!
Nel pianp $z=0$ costruire e studiare il fascio di coniche aventi come asse di simmetria la retta $ r: x+y=z=0$ e passanti per i punti $A=(1,-1,0)$ e $B=(0,-4,0)$. Verificare se esistono nel fascio iperboli equilatere e circonferenze.
Com'è l'equazione della conica?
Se ho sbagliato pure questo sono morto!!.. Help me!!
L'altro asse (supposto esistente) della conica generica del fascio,dovendo essere
perpendicolare a quello dato ,avra' equazioni:
${(z=0),(x-y+lambda=0):}$
Pertanto ,per note regole, le equazioni del fascio di coniche saranno:
(1) ${(z=0),((x+y)^2+mu(x-y+lambda)^2=nu):}$
Imponendo il passaggio per (1,-1,0) e (0,-4,0) si ottiene il sistema:
${(mu(lambda+2)^2=nu),(16+mu(lambda+4)^2=nu):}$
da cui si ricava la soluzione:
${(mu=(-4)/(lambda+3)),(nu=(-4(lambda+2)^2)/(lambda+3)):}$
Sostituendo tali valori nelle (1) e facendo un po' di calcoli si
giunge alle richieste equazioni del fascio di coniche:
(2) ${(z=0),((lambda-1)x^2+2(lambda+7)xy+(lambda-1)y^2-8lambda x+8lambda y+16(lambda+1)=0):}$
Si vede immediatamente che del fascio non possono far parte iperboli equilatere ,dato che
i coefficienti di $x^2,y^2$ sono uguali mentre la condizione (necessaria e sufficiente)
per ottenere una tale curva e' che i medesimi coefficienti siano opposti.
Viceversa proprio tale eguaglianza permette di avere una circonferenza.
Bastera' infatti annullare il coefficiente del termine xy :
$lambda+7=0$ da cui $lambda=-7$ che sostituito nelle (2) porta a:
${(z=0),(x^2+y^2-7x+7y+12=0):}$
equazioni queste che effettivamente rappresentano una circonferenza del piano xy
di centro $C(7/2,-7/2,0)$ e raggio $r=5/2sqrt2$
Naturalmente e' possibile che vi siano altri modi per giungere alle stesse conclusioni.
karl
perpendicolare a quello dato ,avra' equazioni:
${(z=0),(x-y+lambda=0):}$
Pertanto ,per note regole, le equazioni del fascio di coniche saranno:
(1) ${(z=0),((x+y)^2+mu(x-y+lambda)^2=nu):}$
Imponendo il passaggio per (1,-1,0) e (0,-4,0) si ottiene il sistema:
${(mu(lambda+2)^2=nu),(16+mu(lambda+4)^2=nu):}$
da cui si ricava la soluzione:
${(mu=(-4)/(lambda+3)),(nu=(-4(lambda+2)^2)/(lambda+3)):}$
Sostituendo tali valori nelle (1) e facendo un po' di calcoli si
giunge alle richieste equazioni del fascio di coniche:
(2) ${(z=0),((lambda-1)x^2+2(lambda+7)xy+(lambda-1)y^2-8lambda x+8lambda y+16(lambda+1)=0):}$
Si vede immediatamente che del fascio non possono far parte iperboli equilatere ,dato che
i coefficienti di $x^2,y^2$ sono uguali mentre la condizione (necessaria e sufficiente)
per ottenere una tale curva e' che i medesimi coefficienti siano opposti.
Viceversa proprio tale eguaglianza permette di avere una circonferenza.
Bastera' infatti annullare il coefficiente del termine xy :
$lambda+7=0$ da cui $lambda=-7$ che sostituito nelle (2) porta a:
${(z=0),(x^2+y^2-7x+7y+12=0):}$
equazioni queste che effettivamente rappresentano una circonferenza del piano xy
di centro $C(7/2,-7/2,0)$ e raggio $r=5/2sqrt2$
Naturalmente e' possibile che vi siano altri modi per giungere alle stesse conclusioni.
karl
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