Esercizio Geometria

[Dxerxes]

Salve ragazzi qualcuno può darmi uno spunto nel risolvere questo esercizio?

Fissato un RCMO si considerino la retta $ r $ di equazioni $\{(2x+y=0),(2x+z-1=0):} $
e il piano $\pi$ di equazione $ \pi: y-z=0 $

Mi chiede " Rappresentare, se esiste, una Retta del Piano $\pi$ parallela alla retta $r$

Ed ho anche la risposta :
$\{(2x+y=0),(y-z=0):} $

Come si fa ad arrivare a quella conclusione? Grazie mille

[shiva28]

Una retta parallela a $r$, vuol dire che ha la stessa direzione.
Come si trova la direzione di una retta? passando all'equazione parametrica.

Equazione parametrica di $r$ ; Pongo $x=lambda$

$( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) +lambda \ ( ( 1 ),( -2 ),( -2 ) ) $

Quindi la direzione della retta $r$ è $vec(d_r)=( ( 1 ),( -2 ),( -2 ) )$

Dall'equazione del piano $pi: y−z=0$ ricaviamo il vettore normale ad esso, $vec(n)=( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) )$

Verifichiamo se la direzione di $r$ e il vettore normale $vec(n)$ del piano $pi$ sono ortogonali, facendo il prodotto scalare:

$<( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ) \ \ , \ ( ( 1 ),( -2 ),( -2 ) ) > =0$ ok sono ortogonali.
Quindi esiste una retta del piano che ha la stessa direzione della retta $r$.

Questa passa per un punto del piano ed ha direzione $ vec(d_r)$. Un punto del piano potrebbe essere l'origine $O=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )$

Quindi la retta che passa per l'origine con direzione $vec(d_r)$ ha equazione parametrica:

$( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) +lambda( ( 1 ),( -2 ),( -2 ) ) $

Che in equazioni cartesiane diventa:

${ ( 2x+y=0 ),( z-y=0 ):}$

[shiva28]

Devi sempre ragionare con le direzioni delle rette e i vettori normali dei piani.
Per fare ciò, devi passare dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica e viceversa.

[Dxerxes]

Grazie mille!
Non potevo mai arrivarci, solo una domanda, ma il punto (0,0,0) che scegli, è facoltativo?

[shiva28]

"Dxerxes":Grazie mille!
Non potevo mai arrivarci, solo una domanda, ma il punto (0,0,0) che scegli, è facoltativo?

Si il punto è facoltativo, basta prendere un punto qualsiasi che appartenga al piano $pi$.
Dato che il piano $pi$ passa per l'origine, ho preso l'origine per semplicità.