Esercizio generico endomorfismo poco chiaro

[mazzy89-votailprof]

salve a tutti.ho un esercizio svolto dal mio prof però non riesco a comprenderlo in alcune parti.magari qualcuno di voi è più sveglio di me e me lo potrebbe spiegare.

determinare il generico endomorfismo tale che:

sia $f:RR^5->RR^5$

$ker f={(x,y,z,t,u)inRR^5|x-y=t-u=0}$

$im f=L{(0,0,0,1,1),(1,0,1,1,0)}$

a questo punto occorre calcolare una base di $ker f$ e non è molto difficile calcolarla questa è $kerf=L{(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)}$ poi si mette tutto insieme e lo spazio vettoriale $RR^5$ è generato da $B={(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1),(1,0,1,1,0),(0,0,0,0,1)}$

ma gli ultimi due vettori da dove li ha presi?

a questo punto il mio prof si scrive le immagini delle basi per definire il generico endomorfismo:

$f(1,1,0,0,0)=0$
$f(0,0,1,0,0)=0$
$f(0,0,0,1,1)=0$
$f(1,0,1,1,0)=a(0,0,0,1,1)+b(1,0,1,1,0)$
$f(0,0,0,0,1)=c(0,0,0,1,1)+d(1,0,1,1,0)$

ma non capisco le ultime due righe.perché quei vettori sono generati in quel modo?

[mistake89]

$B$ è una base di $RR^5$. Gli ultimi due vettori credo siano scelti in maniera arbitraria per completare l'insieme del $Ker$ ad una base di $RR^5$, in quanto un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base.

Le ultime immagini assegnate ti assicurano che l'immagine sia quella. Infatti avrai, per ogni valore di $a,b$ (non entrambi nulli) un vettore combinazione lineare dei vettori generatori di $imf$, che quindi appartiene allo spazio da loro generato.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":$B$ è una base di $RR^5$. Gli ultimi due vettori credo siano scelti in maniera arbitraria per completare l'insieme del $Ker$ ad una base di $RR^5$, in quanto un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di base.

ok questo mi è chiaro.ha completato la base B aggiungendo altri due vettori linearmente indipendenti.domanda: ma per completare la base come si cercano i vettori linearmente indipendenti?cioè a partire da quei tre come ne becco altri due linearmente indipendenti?vado ad occhio?

"mistake89":
Le ultime immagini assegnate ti assicurano che l'immagine sia quella. Infatti avrai, per ogni valore di $a,b$ (non entrambi nulli) un vettore combinazione lineare dei vettori generatori di $imf$, che quindi appartiene allo spazio da loro generato.

questa affermazione invece mi è poco chiara.

[weblan]

"mazzy89":salve a tutti.ho un esercizio svolto dal mio prof però non riesco a comprenderlo in alcune parti.magari qualcuno di voi è più sveglio di me e me lo potrebbe spiegare.

determinare il generico endomorfismo tale che:

sia $f:RR^5->RR^5$

$ker f={(x,y,z,t,u)inRR^5|x-y=t-u=0}$

$im f=L{(0,0,0,1,1),(1,0,1,1,0)}$

a questo punto occorre calcolare una base di $ker f$ e non è molto difficile calcolarla questa è $kerf=L{(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)}$ poi si mette tutto insieme e lo spazio vettoriale $RR^5$ è generato da $B={(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1),(1,0,1,1,0),(0,0,0,0,1)}$

Un'applicazione lineare è nota (determinata) quando si conoscono le immagini dei vettori di una base. Di endomorfismi che soddisfano le condizioni dettate ne esistono infiniti. Il nucleo di questo endomorfismo deve essere lo spazio generato $<(1,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,1)>$. Ora devi completare la base del nucleo ad un base di $RR^5$ aggiungendo due vettori $u$ e $v$ e a questi due vettori (scelti in maniera arbitraria, purchè insieme ai tre che generano il nucleo siano una base di $RR^5$ ovviamente).

ma gli ultimi due vettori da dove li ha presi?

sono stati scelti in modo da completare la base del nucleo ad una base di $RR^5$

[mazzy89-votailprof]

ma guardando i valori mi domando se è un caso che un vettore generatore del nucleo sia uguale ad un vettore generatore dell'immagine ed inoltre che il quarto vettore trovato linearmente indipendente per completare la base sia uguale a quello dell'immagine.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":
Le ultime immagini assegnate ti assicurano che l'immagine sia quella. Infatti avrai, per ogni valore di $a,b$ (non entrambi nulli) un vettore combinazione lineare dei vettori generatori di $imf$, che quindi appartiene allo spazio da loro generato.

non ho capito questa affermazione.qualcuno può spiegarmela anche perché l'esercizio si riduce tutto lì nel calcolo dell'immagine.

[mazzy89-votailprof]

nessuno che mi aiuti a capire cosa vuol dire

[tex]\displaystyle{f{{\left({1},{0},{1},{1},{0}\right)}}}={a}{\left({0},{0},{0},{1},{1}\right)}+{b}{\left({1},{0},{1},{1},{0}\right)}[/tex]
[tex]\displaystyle {f{{\left({0},{0},{0},{0},{1}\right)}}}={c}{\left({0},{0},{0},{1},{1}\right)}+{d}{\left({1},{0},{1},{1},{0}\right)}[/tex]

[mistake89]

Assegna come immagine, dei vettori che stanno nell'immagine $imf$ essendo questi combinazione lineare dei vettori che generano $imf$.

[mazzy89-votailprof]

"mistake89":Assegna come immagine, dei vettori che stanno nell'immagine $imf$ essendo questi combinazione lineare dei vettori che generano $imf$.

ma adesso ti chiedo mistake89:questi vettori è solamente un caso che sono uguali a quelli che generano $Imf$? potevano essere benissimo diversi.esatto?

[mistake89]

Certo che no, altrimenti avresti ottenuto un'immagine (generalmente) diversa. Sono stati scelti apposta come combinazione lineare dei due generatori