Esercizio generatori sottospazio
Ho il seguente esercizio:
I vettori
$u=i-j,
v=j,
w=2j$
generano un sottospazio $ mathbb(R)^3 $ (quale?). Il vettore $t=2j+3k$ sta in tale sottospazio?
Similmente a un esercizio guidato che ho fatto con il professore eseguo questo: prendo un vettore generico di $ mathbb(R)^3 $ $z=(a, b, c)$
Voglio scrivere $(a, b, c)= x_1u+x_2v+x_3w$
Avrò
$ { ( a=x_1 ),( b=-x_1+x_2+2x_3 ),( c=0 ):} $
Giusto? Ricavo le incognite che sono $x_1, x_2, x_3$ perchè $a, b, c$ sono valori dati:
$ { ( x_1=a ),( x_2=-2x_3+a+b ),( c=0 ):} $
Sono fermo a questo punto perchè non so cosa fare. Vedendo il sistema ricavato ho che il valore $x_3$ o anche $x_2$ non posso esprimerlo come $x_1$, cioè come $x_2=$ qualche valore di $a$ e $b$ e $x_3=$ qualche valore di $a$ e $b$
I vettori
$u=i-j,
v=j,
w=2j$
generano un sottospazio $ mathbb(R)^3 $ (quale?). Il vettore $t=2j+3k$ sta in tale sottospazio?
Similmente a un esercizio guidato che ho fatto con il professore eseguo questo: prendo un vettore generico di $ mathbb(R)^3 $ $z=(a, b, c)$
Voglio scrivere $(a, b, c)= x_1u+x_2v+x_3w$
Avrò
$ { ( a=x_1 ),( b=-x_1+x_2+2x_3 ),( c=0 ):} $
Giusto? Ricavo le incognite che sono $x_1, x_2, x_3$ perchè $a, b, c$ sono valori dati:
$ { ( x_1=a ),( x_2=-2x_3+a+b ),( c=0 ):} $
Sono fermo a questo punto perchè non so cosa fare. Vedendo il sistema ricavato ho che il valore $x_3$ o anche $x_2$ non posso esprimerlo come $x_1$, cioè come $x_2=$ qualche valore di $a$ e $b$ e $x_3=$ qualche valore di $a$ e $b$
Risposte
Scusa ma... a me questo esercizio sembra risolvibile anche "ad occhio". Intanto $v,w$ sono proporzionali tra loro quindi puoi "ignorarne" uno come generatore. Inoltre $i = u+v$, quindi in altre parole lo spazio generato da $u,v,w$ altri non è che $\langle i, j \rangle$.
Paola
Paola
Grazie per la risposta. Non ho capito questo passaggio:
E poi, se volessi risolverlo come ho fatto io, cosa vuol dire che mi esce $x_2=-2x_3+a+b$ ?
Grazie
"prime_number":
in altre parole lo spazio generato da $u,v,w$ altri non è che $\langle i, j \rangle$.
E poi, se volessi risolverlo come ho fatto io, cosa vuol dire che mi esce $x_2=-2x_3+a+b$ ?
Grazie
Cosa non hai capito esattamente di quel passaggio? Hai capito perché possiamo ignorare $w$? Oltre a quello, dato che il vettore della base canonica $i$ è esprimibile come combinazione lineare dei generatori $u,v$ possiamo sostituire ad uno di essi lo stesso vettore $i$. Datoc che $v$ è "bello" (essendo vettore della base canonica è comodo tenere lui, no?) teniamoci lui... quindi lo spazio generato da $u,v$ è lo spazio generato da $i,j$.
Il tuo metodo risolutivo è un casino, a mio parere. Ti trovi con un miliardo di parametri, dato che avresti sia parametri del sistema, sia $a,b,c$ da considerare parametri. E' una via che non percorrerei mai.
Paola
Il tuo metodo risolutivo è un casino, a mio parere. Ti trovi con un miliardo di parametri, dato che avresti sia parametri del sistema, sia $a,b,c$ da considerare parametri. E' una via che non percorrerei mai.
Paola
Ora ho capito. Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo