Esercizio funzione localmente costante
Buona sera. Chiedo un parere su come è svolto questo esercizio
Dimostrare che
a) Se $f$ è localmente costante allora $f$ è continua
b) Se $f$ è localmente costante e $X$ è connesso allora $f$ è costante
a) Sia $f:X rarr Y$ una funzione localmente costante. Allora $ AA x in X $ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $ f_(|U)(x)=k $ . Allora la controimmagine di un intorno $V$ di $k$ è un intorno $U$ di $x rarr f^-1(V)sube U $. In particolare poichè $ f_(|U)$ è costante $ f^-1(k)= U rarr f$ è continua
b) Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Se $f$ è localmente costante dal punto a) $f$ è continua. Allora esistono $k_1,k_2 in Y$, $ k_1 !=k_2 $ tale che $ f^-1(k_1)=U $ e $ f^-1(k_2)=V $ , con $V,U$ intorni aperti di $x,y in X$.
In particolare $f^-1(k_1)uuf^-1(k_2)=U uu V$. Ma $ f^-1(k_1)nnf^-1(k_2)=O/ rarr UnnV=O/ $ e $X$ è sconnesso $rarr$ assurdo perchè $X$ è connesso $rarr f$ è costante
Dimostrare che
a) Se $f$ è localmente costante allora $f$ è continua
b) Se $f$ è localmente costante e $X$ è connesso allora $f$ è costante
a) Sia $f:X rarr Y$ una funzione localmente costante. Allora $ AA x in X $ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $ f_(|U)(x)=k $ . Allora la controimmagine di un intorno $V$ di $k$ è un intorno $U$ di $x rarr f^-1(V)sube U $. In particolare poichè $ f_(|U)$ è costante $ f^-1(k)= U rarr f$ è continua
b) Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Se $f$ è localmente costante dal punto a) $f$ è continua. Allora esistono $k_1,k_2 in Y$, $ k_1 !=k_2 $ tale che $ f^-1(k_1)=U $ e $ f^-1(k_2)=V $ , con $V,U$ intorni aperti di $x,y in X$.
In particolare $f^-1(k_1)uuf^-1(k_2)=U uu V$. Ma $ f^-1(k_1)nnf^-1(k_2)=O/ rarr UnnV=O/ $ e $X$ è sconnesso $rarr$ assurdo perchè $X$ è connesso $rarr f$ è costante
Risposte
Secondo me è tutto sbagliato, purtroppo. Nella dimostrazione a) non si capisce niente. Mentre nella b) mi pare tu abbia "dimostrato" che tutte le funzioni continue sono costanti.
tu come lo risolveresti?
Ciao sira. Prova a essere più precisa quando scrivi. Secondo me il punto a) è corretto SE ho capito cosa vuoi dire. Solo che in teoria uno che legge non lo dovrebbe fare questo sforzo di decrittazione.
Penso tu volessi dimostrare che per ogni $x \in X$ si ha che $f$ è continua in $x$. Fissiamo $x \in X$ e prendiamo un intorno $V$ di $f(x)$. Devi far vedere che riesci a trovare $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Dì esattamente come costruisci/trovi questo $U$.
Nel punto b) non si capisce come tu concluda. Hai trovato due aperti $U, V \subseteq X$ disgiunti. Questo mica vuol dire che $X$ è sconnesso.
Penso tu volessi dimostrare che per ogni $x \in X$ si ha che $f$ è continua in $x$. Fissiamo $x \in X$ e prendiamo un intorno $V$ di $f(x)$. Devi far vedere che riesci a trovare $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Dì esattamente come costruisci/trovi questo $U$.
Nel punto b) non si capisce come tu concluda. Hai trovato due aperti $U, V \subseteq X$ disgiunti. Questo mica vuol dire che $X$ è sconnesso.
Grazie per la risposta!
Nel punto a) voglio che per ogni $ x in X $, $ U $ sia un intorno di $ x $ tale che $ f^(-1)(k)=U $ . Quindi sia $ V$ un intorno di $ k$, sì avrà $ V sube f (U) $
Nel punto b) devo dimostrare che le controimmagini di $ f$ sono tutti aperti disgiunti per mostrare che $ X $ è sconnesso?
Nel punto a) voglio che per ogni $ x in X $, $ U $ sia un intorno di $ x $ tale che $ f^(-1)(k)=U $ . Quindi sia $ V$ un intorno di $ k$, sì avrà $ V sube f (U) $
Nel punto b) devo dimostrare che le controimmagini di $ f$ sono tutti aperti disgiunti per mostrare che $ X $ è sconnesso?
Ho capito cosa vuoi dire. Non va bene scritto così. Non c’e bisogno di prendere quell’$U$. Completa quello che ho scritto da “Dì” in poi. Non ripetere chi sono $x$ e $V$ te li ho già fissati. Chi caspita è $k$? Hai scritto al contrario la def di continuità oltretutto. Precisa. Con calma. Scrivi e ricontrolla. Io non sono nella tua testa.
$ k $ è una costante. Quindi sia $ V $ un intorno di $ k $, la controimmagine $ f^(-1)(V) sube U $. Ma $ U $ è un intorno aperto di $ x $, quindi abbiamo che la controimmagine di un aperto contenente $ k $ è un sottoinsieme di $ U $ , cioè di un intorno di $ x $
(mi scuso da ora per eventuali errori/imperfezioni)
(mi scuso da ora per eventuali errori/imperfezioni)
Eccomi. Non ci siamo. Cioè non scrivi le cose. Abbiamo fissato $x \in X $ e $V \subseteq Y$ intorno di $f(x)$. E tu mi dici "sia $k$ una costante", ma che vuol dire una costante? Quale? Perché? Poi prendi un intorno di $k$ e citi un $U$ che non hai detto chi è.
Fosse l'ultima cosa che faccio, questa dimostrazione non la scrivo io ma la porti in fondo tu!
Quindi: fissiamo $x \in X$ e $V \subseteq Y$ intorno di $f(x)$. Trovami $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Non deve apparire alcun $k$ misterioso. Mi devi solo trovare $U$. Mi devi dire "$U$ è...." o "$U=...$. Non deve apparire alcuna controimmagine di alcunché. Solo mi devi dire chi è $U$.
Fosse l'ultima cosa che faccio, questa dimostrazione non la scrivo io ma la porti in fondo tu!
Quindi: fissiamo $x \in X$ e $V \subseteq Y$ intorno di $f(x)$. Trovami $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Non deve apparire alcun $k$ misterioso. Mi devi solo trovare $U$. Mi devi dire "$U$ è...." o "$U=...$. Non deve apparire alcuna controimmagine di alcunché. Solo mi devi dire chi è $U$.
Buongiorno e grazie ancora per la pazienza!
Spero di non scrivere stupidaggini!
Io so che $ U $ è un intorno di $ x $ e che per definizione di continuità $ f (U) sube V $. Quindi $ U=(x - epsilon, x+epsilon) $, con $ epsilon $ piccolo. (Se fossi in uno spazio topologico dotato di topologia discreta direi che $ U=x $, ma qui non lo so che topologia ha $ X$ )
Spero di non scrivere stupidaggini!
Io so che $ U $ è un intorno di $ x $ e che per definizione di continuità $ f (U) sube V $. Quindi $ U=(x - epsilon, x+epsilon) $, con $ epsilon $ piccolo. (Se fossi in uno spazio topologico dotato di topologia discreta direi che $ U=x $, ma qui non lo so che topologia ha $ X$ )
@sira: guarda, non ci siamo proprio. Fai moltissima confusione. Giusto per dirne una, hai scritto $(x-\epsilon, x+\epsilon) $, ma questo ha senso solo in $\mathbb R$.
Non è il momento di affrontare questo esercizio. Prima riprendi le definizioni fondamentali di logica e teoria degli insiemi, poi passa alle definizioni fondamentali di topologia e solo dopo potrai svolgere esercizi come questo. Avevo il tuo stesso problema anni fa, così ho scaricato un pdf del libro di topologia di Munkres (dopo ne ho comprata una copia cartacea perché mi è piaciuto molto). Il primo capitolo tratta le basi sugli insiemi e il secondo inizia con la topologia. È fatto molto bene.
Non è il momento di affrontare questo esercizio. Prima riprendi le definizioni fondamentali di logica e teoria degli insiemi, poi passa alle definizioni fondamentali di topologia e solo dopo potrai svolgere esercizi come questo. Avevo il tuo stesso problema anni fa, così ho scaricato un pdf del libro di topologia di Munkres (dopo ne ho comprata una copia cartacea perché mi è piaciuto molto). Il primo capitolo tratta le basi sugli insiemi e il secondo inizia con la topologia. È fatto molto bene.
Grazie per il consiglio, oggi stesso troverò questo pdf anch'io e mi metterò a studiare almeno i primi capitoli!
Il mio problema (lo so che non dovrei) è cercare di risolvere (e capire) queste cose nel minor tempo possibile (che tra l'altro appena capite sono bellissime).
Detto questo, potresti darmi un piccolo suggerimento per riuscire a capire chi è $ U $ ?
Il mio problema (lo so che non dovrei) è cercare di risolvere (e capire) queste cose nel minor tempo possibile (che tra l'altro appena capite sono bellissime).
Detto questo, potresti darmi un piccolo suggerimento per riuscire a capire chi è $ U $ ?
Ciao sira. Purtroppo ha ragione dissonance. Io posso anche dirti come farlo l'esercizio ma non so a quanto servirebbe. Vedo da certe cose che scrivi e da come le scrivi che ti sono oscuri dei concetti che dovrebbero esserti chiari per fare questo esercizio. Inoltre hai un procedimento logico-deduttivo che è incomprensibile. Il primo problema è di studio ma il secondo è proprio di metodo. Non ho gli strumenti per aiutarti in questi problemi e probabilmente il consiglio di dissonance è quello giusto. Prenditi il tuo tempo, non pensare a imparare queste cose nel minor tempo possibile. Perché metti che le impari velocemente (male) e passi l'esame. Poi nel futuro ti serviranno e farai ancora più fatica. Non voglio che ti scoraggi per questo messaggio, è molto bello avere a che fare con te qua sul forum: sei educata, rispettosa e si vede che hai voglia di imparare e che ti piacciono queste cose.
P.S. : perché so che non ti fermerai finché non avrai risposta: Dalle ipotesi sai che esiste $U$ intorno di $x$ tale che $f|_U$ è costante. Cioè per ogni $y \in U$ si ha $f(y)=f(x)$. Ma allora $f(U) = \{ f(x) \} \subseteq V $.
P.S. : perché so che non ti fermerai finché non avrai risposta: Dalle ipotesi sai che esiste $U$ intorno di $x$ tale che $f|_U$ è costante. Cioè per ogni $y \in U$ si ha $f(y)=f(x)$. Ma allora $f(U) = \{ f(x) \} \subseteq V $.
Grazie ancora Bremen000, non mi scoraggio affatto (c'è chi mi ha detto di peggio nella vita) 
Grazie anche per la risposta dell'esercizio, la userò comunque e mi correggerò.
Grazie anche per la risposta dell'esercizio, la userò comunque e mi correggerò.
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