Esercizio Forme
Mi potete dire se sto svolgendo correttamente questo esercizio?
Sia $\alpha = dz -xdy \in A^1 (R^3)$, esiste $\gamma \in A^1(R^3) $ tale che $d\alpha = \gamma \wedge \alpha$ ?
Io ho fatto così:
Posso scrivere $ \gamma = a dx + b dy + c dz$ con $a, b, c$ funzioni di classe C-infinito su $R^3$, si ha che:
$ \gamma \wedge \alpha = a dx \wedge dy - xa dx \wedge dy + b dy \wedge dz + cx dy \wedge dz $
$d \alpha = - dx \wedge dy$
Dunque eguagliando i coefficienti si trova $ a = 1/x$ che è assurdo perché $a$ deve essere C-infinito su $R^3$. Giusto? Altre strade?
Sia $\alpha = dz -xdy \in A^1 (R^3)$, esiste $\gamma \in A^1(R^3) $ tale che $d\alpha = \gamma \wedge \alpha$ ?
Io ho fatto così:
Posso scrivere $ \gamma = a dx + b dy + c dz$ con $a, b, c$ funzioni di classe C-infinito su $R^3$, si ha che:
$ \gamma \wedge \alpha = a dx \wedge dy - xa dx \wedge dy + b dy \wedge dz + cx dy \wedge dz $
$d \alpha = - dx \wedge dy$
Dunque eguagliando i coefficienti si trova $ a = 1/x$ che è assurdo perché $a$ deve essere C-infinito su $R^3$. Giusto? Altre strade?
Risposte
Certo che è giusto...
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