Esercizio forma canonica di Jordan

[piergiorgiof1]

Salve a tutti sto svolgendo questo esercizio:

Determinare la forma canonica di Jordan della seguente matrice e la base rispetto alla quale la matrice A ammette la forma canonica:

$A=[[0,1,-1,-1,1,-1],[0,0,1,1,0,0],[0,0,1,1,0,0],[0,0,0,1,0,1],[0,0,0,0,2,-1],[0,0,0,0,1,0]]$

ottengo che $det(A- $ $\lambda$ $ I) = (\lambda)^2 ( 1- \lambda ) ( \lambda -1) (-\lambda^2 + 2 \lambda -1) $

per cui avrò

$\lambda_1=0$ con molteplicità algebrica 2
$\lambda_2=1$ con molteplicità algebrica 4.

Per $\lambda_1$ ottengo molteplicità geometrica pari a 1 e avrò quindi un unico blocco di ordine due.

Per $\lambda_2=1$ ho:

$(A- I)=[[-1,1,-1,-1,1,-1],[0,-1,1,1,0,0],[0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,1,-1],[0,0,0,0,1,-1]]$

Che ha rango 5 quindi avrò un solo blocco di ordine 4. Per cui posso trarre la forma canonica:

$A'=[[0,1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0],[0,0,1,1,0,0],[0,0,0,1,1,0],[0,0,0,0,1,1],[0,0,0,0,0,1]]$

Il problema mi si pone quando devo ottenere la base:

Consideriamo l'autovalore $\lambda_2=1$:

Da quel poco che ho capito per ottenere la catena di autovalori, che per $\lambda_2$ avrà lunghezza 4, devo elevare la matrice alla quarta e per ogni $(A-I)^n $ devo calcolare il nucleo e poi partendo dal grado più alto scegliere via via i vettori.

Solo che mi aspetto che la matrice $(A- I)^4 $ sia la matrice nulla dato che il blocco massimo per quell'autovalore è 4 e l'indice di nilpotenza di conseguenza dovrebbe essere anch'esso 4.

Come mai allora:

$(A- I)^4=[[-1,1,-1,-1,1,-1],[0,-1,1,1,0,0],[0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,1,-1],[0,0,0,0,1,-1]]$

Purtroppo con wolfram non sono riuscito a controllare i calcoli ma li ho ricontrollati e mi sembrano corretti.

Forse non tutte le matrici sono nilpotenti? Allora l'indice di nilpotenza non è un metodo universale per calcolare il blocco massimo relativo a un autovalore... sono un po' confuso.

Spero che qualcuno abbia la pazienza di aiutarmi, grazie.

[piergiorgiof1]

Edit:

Con wolfram ho visto che la forma canonica e la base sono giuste, l'unico problema è quello relativo alla matrice alla quarta che non è la matrice nulla.

Potete dare un'occhiata:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... %2C0%5D%5D