Esercizio forma bilineare riflessiva con duale
Vi lascio il testo e una mia soluzione, ditemi se va bene:
a) Prendiamo $\phi$ e $\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\phi+\psi)(u)=\phi(u)+\psi(u)=\beta(u,v_(\phi))+\beta(u,v_(\psi))=\beta(u,v_(\phi)+v_(\psi))$ per cui $\phi+\psi$ è rappresentabile da $\beta$. Prendiamo $\alphainK$ e $\phi$ elemento rappresentabile da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\alpha\phi)(u)=\alpha\phi(u)=\alpha\beta(u,v_(\phi))=\beta(u,\alphav_(\phi))$ per cui $\alpha\phi$ è rappresentabile da $\beta$.
b)Abbiamo che $\phi=0$ se e solo se $v_(\phi)inrad\beta$, mentre $Ker\phi=span{v_(\phi)}^⊥$ (non so se devo dire altro, sinceramente non mi è chiara questo quesito)
c) Siano $\phi=\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Abbiamo che $AAuinV$: $\beta(u,v_(\phi))=\phi(u)=\psi(u)=\beta(u,v_(\psi))$ da cui $\beta(u,v_(\phi)-v_(\psi))=0$ e quindi $v_(\phi)-v_(\psi)inrad\beta$. La dimensione del sottospazio degli elementi rappresentabili da $\beta$ coincide con la dimensione di $V_(/rad\beta)$ che è $dimV-dimrad\beta$.
a) Prendiamo $\phi$ e $\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\phi+\psi)(u)=\phi(u)+\psi(u)=\beta(u,v_(\phi))+\beta(u,v_(\psi))=\beta(u,v_(\phi)+v_(\psi))$ per cui $\phi+\psi$ è rappresentabile da $\beta$. Prendiamo $\alphainK$ e $\phi$ elemento rappresentabile da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\alpha\phi)(u)=\alpha\phi(u)=\alpha\beta(u,v_(\phi))=\beta(u,\alphav_(\phi))$ per cui $\alpha\phi$ è rappresentabile da $\beta$.
b)Abbiamo che $\phi=0$ se e solo se $v_(\phi)inrad\beta$, mentre $Ker\phi=span{v_(\phi)}^⊥$ (non so se devo dire altro, sinceramente non mi è chiara questo quesito)
c) Siano $\phi=\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Abbiamo che $AAuinV$: $\beta(u,v_(\phi))=\phi(u)=\psi(u)=\beta(u,v_(\psi))$ da cui $\beta(u,v_(\phi)-v_(\psi))=0$ e quindi $v_(\phi)-v_(\psi)inrad\beta$. La dimensione del sottospazio degli elementi rappresentabili da $\beta$ coincide con la dimensione di $V_(/rad\beta)$ che è $dimV-dimrad\beta$.
Risposte
Che significa "forma bilineare riflessiva"? 
Significa che è simmetrica o alternante. \(\beta\) è riflessiva se per ogni \(x,y\in V\), \(\beta(x,y)=0\iff \beta(y,x)=0\); e si dimostra che ha questa proprietà se e solo se è simmetrica o alternante.
"j18eos":
Che significa "forma bilineare riflessiva"?
Come ha detto @megas_archon vuol dire che la forma bilineare o è simmetrica o antisimmetrica/alternante
a & b) vanno bene.
c) non ho capìto bene il ragionamento.
Nota: non hai usato l'ipotesi che \(\beta\) sia riflessiva...
c) non ho capìto bene il ragionamento.
Nota: non hai usato l'ipotesi che \(\beta\) sia riflessiva...
"j18eos":
a & b) vanno bene.
c) non ho capìto bene il ragionamento.
Nota: non hai usato l'ipotesi che \(\beta\) sia riflessiva...
Della b) non sono sicuro che ho risposto completamente alla domanda.
Per la c) non so sinceramente, avevo provato a fare i casi antisimmetrica e simmetrica ma a prima vista non mi viene niente.
(c) Inizia a rappresentare \(\varphi\) rispetto a una base di \(\mathbb{V}^{\vee}\)...
Alla applicazione bilineare \(\beta : V\times V\to k\) corrisponde una applicazione lineare \(\hat\beta : V\to V^\lor\) mediante l'isomorfismo \(\text{Bil}(V\times V,k)\cong \hom_k(V,V^\lor)\), che è precisamente \(\beta(-,v)\); allora l'insieme \(\text{Rep}(\beta)\) degli elementi rappresentabili da \(\beta\) è semplicemente l'immagine di \(\hat\beta\), e il radicale di \(\beta\) ne è il nucleo. Questo ti dà la relazione tra \(\text{Rep}(\beta)\) e \(\text{rad}(\beta)\), con la formula delle dimensioni (o meglio, col primo teorema di isomorfismo: \(\text{Rep}(\beta)\cong V/\ker \hat\beta = V/\text{rad}(\beta)\), quindi \(\text{Rep}(\beta)\) è un sottospazio di $V$ di codimensione \(d=\dim\text{rad}(\beta)\)).
"megas_archon":
Alla applicazione bilineare \(\beta : V\times V\to k\) corrisponde una applicazione lineare \(\hat\beta : V\to V^\lor\) mediante l'isomorfismo \(\text{Bil}(V\times V,k)\cong \hom_k(V,V^\lor)\), che è precisamente \(\beta(-,v)\); allora l'insieme \(\text{Rep}(\beta)\) degli elementi rappresentabili da \(\beta\) è semplicemente l'immagine di \(\hat\beta\), e il radicale di \(\beta\) ne è il nucleo. Questo ti dà la relazione tra \(\text{Rep}(\beta)\) e \(\text{rad}(\beta)\), con la formula delle dimensioni (o meglio, col primo teorema di isomorfismo: \(\text{Rep}(\beta)\cong V/\ker \hat\beta = V/\text{rad}(\beta)\), quindi \(\text{Rep}(\beta)\) è un sottospazio di $V$ di codimensione \(d=\dim\text{rad}(\beta)\)).
Con \(\text{Rep}(\beta)\) indichi l'insieme degli elementi rappresentabili da \(\beta\) ?
C'è scritto:
l'insieme \(\text{Rep}(\beta)\) degli elementi rappresentabili da \(\beta\)
"megas_archon":
(o meglio, col primo teorema di isomorfismo: \(\text{Rep}(\beta)\cong V/\ker \hat\beta = V/\text{rad}(\beta)\), quindi \(\text{Rep}(\beta)\) è un sottospazio di $V$ di codimensione \(d=\dim\text{rad}(\beta)\)).
Però la dimensione di \(\text{Rep}(\beta)\) è $dimV-dimradbeta$ poichè isomorfo a $V_(/radbeta)$
E' esattamente quello che ho scritto.
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