Esercizio esonero algebra e geometria

[lucamennoia]

Tra pochi giorni ho l'esonero di algebra e geometria e volevo chiedere chi può spiegarmi questo esercizio e risolverlo, grazie:

Nell'insieme Z dei numeri interi relativi, si consideri l'operazione (binaria) interna * : Z x Z --> Z definita ponendo, per ogni a , b appartenente a Z, a * b = a + b + 2k, ove k appartenente a Z.
Si determini l'eventuale valore del parametro k per il quale l'elemento neutro della struttura algebrica (Z, *) sia 6.

[vict85]

Devo presumere che tu non stia lavorando con un gruppo o simili...

Per prima cosa osservi che l'operazione è commutativa. Questo ti facilita il lavoro.

Poi ti basta porre a*6 = a e semplificando ricavi k.

[lucamennoia]

Scusami non capisco come fai a dire che nell'esercizio non si ha a che fare con un "gruppo o simili", puoi chiarirmelo per favore?
Poi l'operazione è commutativa perchè si tratta della moltiplicazione no? E' per questo che affermi che è commutativa.
Ma se non fosse stata commutativa cosa avrei dovuto fare?
Il suggerimento sull'elemento neutro l'ho capito. Grazie mille!

[vict85]

"lucamennoia":Scusami non capisco come fai a dire che nell'esercizio non si ha a che fare con un "gruppo o simili", puoi chiarirmelo per favore?
Poi l'operazione è commutativa perchè si tratta della moltiplicazione no? E' per questo che affermi che è commutativa.
Ma se non fosse stata commutativa cosa avrei dovuto fare?
Il suggerimento sull'elemento neutro l'ho capito. Grazie mille!

Hai ragione... non mi ero accorto fosse un gruppo . Non avevo controllato, la prossima volta starò più attento. In ogni caso non è necessario sapere se è un gruppo o no, ti basta sapere la legge di composizione.

In ogni caso nei gruppi si usa la moltiplicazione quando non si sa se è abeliano... in questo caso lo è perché la legge di composizione comprende solamente operazioni abeliane e costanti. E' immediato verificare che scambiando a con b si ha lo stesso risultato.
Se non era abeliano si doveva verificare da entrambe le parti, cioé a*e=a e e*a=a. Questo è necessario perché l'operazione potrebbe non ammettere un elemento neutro.

[lucamennoia]

Senti io non riesco a fare l'esercizio, visto che sicuramente sei più bravo di me potresti aiutarmi? Potresti svolgerlo tu?

[vict85]

Ma mi avevi detto che avevi capito il commento sull'elemento neutro!?

Fai a*6 = a o meglio a+6+2k=a... Questa è una equazione di primo grado in una incognita...

[lucamennoia]

Ecco si non capisco come fai ad aver eguagliato b=6...Scusa l'insistenza ma non mi è ancora chiaro, prima mi ero illuso di aver capito

[cntrone]

"lucamennoia":Ecco si non capisco come fai ad aver eguagliato b=6...Scusa l'insistenza ma non mi è ancora chiaro, prima mi ero illuso di aver capito

vict85 spero mi scusi per essermi intromesso..cerco di spiegertelo io in parole semplici

l'esercizio ti chiede il valore di k nel caso in cui l'elemento neutro sia 6..quindi

$e=6$

come tu già dovresti sapere per definizione hai che:

$a*e=a$

quindi basta che fai

$a*6=a$

e cioè

$a+6+2k=a$

semplicissima equazione che tu sarai senz'altro in grado di risolvere..spero abbia capito..

[lucamennoia]

Non ho capito ancora perchè tu hai sostituito il 6 con l'elemento "b". Cosa c'entra l'elemento "b"? Al limite dovrei fare "6a + b + 2k = a" oppure "6a + b + 2k = 6a" ma non capisco, non riesco.

Poi l'equazione presenta due termini incogniti (e non uno) che non so come trattare e questi sono "k" ed "a". Il risultato sul mio foglio è un numero senza "a" perciò quando io calcolo "k" dovrei avere un risultato numerico senza altri termini come "a". Come faccio? Le soluzioni sono
A. Per nessun valore di k
B. Solo per k=2
C. Solo per k=-3
D. Solo per k=0

Comunque non riesco a capire come possa "e", l'elemento neutro sostituire il termine "b". Non riesco a capire, scusatemi

[cntrone]

"lucamennoia":Non ho capito ancora perchè tu hai sostituito il 6 con l'elemento "b". Cosa c'entra l'elemento "b"? Al limite dovrei fare "6a + b + 2k = a" oppure "6a + b + 2k = 6a" ma non capisco, non riesco.

Poi l'equazione presenta due termini incogniti (e non uno) che non so come trattare e questi sono "k" ed "a". Il risultato sul mio foglio è un numero senza "a" perciò quando io calcolo "k" dovrei avere un risultato numerico senza altri termini come "a". Come faccio? Le soluzioni sono
A. Per nessun valore di k
B. Solo per k=2
C. Solo per k=-3
D. Solo per k=0

Comunque non riesco a capire come possa "e", l'elemento neutro sostituire il termine "b". Non riesco a capire, scusatemi

scusami ma $e$ è l'elemento neutro se e solo se hai $a*e=e$..sei convinto di questo??

ora se la formula generale è $a*b$ e tu devi imporre $a*e$..mi sembra logico che al posto di b(che può assumere qualsiasi valore di $ZZ$) in questo caso ci devi mettere $e$

in secondo luogo l'equazione e banalissima..

$a+e+2k=a$ (le due $a$ si semplificano)

e hai $e+2k=0$ cioè $k=-e/2$..nel caso specifico $e=6$ quindi $k=-3$

[lucamennoia]

Grazie mille e scusami per l'insistenza ora ho capito