Esercizio esame di topologia generale
Ecco qui il testo di un esame di topologia, preso da internet:
Sol.:
L'insieme $A$ è formato dalla palla aperta di raggio $r=2$ unita all'asse $y$, a cui tolgo i punti di ordinata nulla.
E' evidentemente un insieme illimitato e pertanto (per Heine-Borel), non può essere compatto. Sempre perché illimitato, $\overline{A}=RR^2$.
(i) L'interno di $A$ è l'insieme vuoto, perché se prendo un punto, che sta sull'asse $y$, fuori dalla palla di raggio $2$, per esempio $(0,3)$, non esiste nessun $\epsilon >0$ tale che $B_{\epsilon}(0,3)$ è contenuta nel punto.
(iv) Non è connesso, perché se considero i rettangoli aperti $C=(-2,2) xx (0,+\infty)$ e $D=(-2,2) xx (0,-\infty)$, allora $D \cup C= A$ e $D \cap C = \emptyset$.
Un dubbio: poiché la topologia delle "palle" e quella dei "rettangoli" sono equivalenti, allora ragionare in termini di "palle aperte" e rettangoli aperti" è la stessa cosa, corretto?
(v) Sono omeomorfi perché entrambi chiusi e limitati: il primo è una palla compatta di raggio $1$, mentre il secondo un quadrato di lato $l=3$ ruotato di $\pi/4$.
E' anche possibile esibire esplicitamente un omeomorfismo, che dovrebbe essere del tipo $x \mapsto (x)/(3- ||x||)$.
Può andare?
EX
Sia $A={(x,y):x^2+y^2<4 \ cup x=0} \cap {(x,y): y!=0}$ un sottoinsieme di $RR^2$ dotato della topologia naturale, si determini:
(i) L'interno di $A$
(ii)La chiusura $\overline{A}$ di $A$
(iii)Se $A$ è compatto
(iv)Se $A$ è connesso
(v)Se $\overline{A} \cap {(x,y):x^2+y^2 leq 1} $ e $ {|x|+|y| \leq 3}$ sono omeomorfi.
Sol.:
L'insieme $A$ è formato dalla palla aperta di raggio $r=2$ unita all'asse $y$, a cui tolgo i punti di ordinata nulla.
E' evidentemente un insieme illimitato e pertanto (per Heine-Borel), non può essere compatto. Sempre perché illimitato, $\overline{A}=RR^2$.
(i) L'interno di $A$ è l'insieme vuoto, perché se prendo un punto, che sta sull'asse $y$, fuori dalla palla di raggio $2$, per esempio $(0,3)$, non esiste nessun $\epsilon >0$ tale che $B_{\epsilon}(0,3)$ è contenuta nel punto.
(iv) Non è connesso, perché se considero i rettangoli aperti $C=(-2,2) xx (0,+\infty)$ e $D=(-2,2) xx (0,-\infty)$, allora $D \cup C= A$ e $D \cap C = \emptyset$.
Un dubbio: poiché la topologia delle "palle" e quella dei "rettangoli" sono equivalenti, allora ragionare in termini di "palle aperte" e rettangoli aperti" è la stessa cosa, corretto?
(v) Sono omeomorfi perché entrambi chiusi e limitati: il primo è una palla compatta di raggio $1$, mentre il secondo un quadrato di lato $l=3$ ruotato di $\pi/4$.
E' anche possibile esibire esplicitamente un omeomorfismo, che dovrebbe essere del tipo $x \mapsto (x)/(3- ||x||)$.
Può andare?
Risposte
"feddy":Falso; e, per esempio, la chiusura di un semipiano aperto non è \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)!
... Sempre perché illimitato, $\overline{A}=RR^2$...
Grazie per la risposta ! 
mmm... potrebbe essere $\overline{A}=[-2,2] xx RR$?
mmm... potrebbe essere $\overline{A}=[-2,2] xx RR$?
Perché tiri a caso? Ragionaci un po', la chiusura $RR^n$ (più in generale in tutti gli spazi metrici) si ottiene aggiungendo tutti i possibili limiti di successioni che sono incluse nel sottoinsieme ovvero aggiungendo i "confini" dell'insieme.
Comunque anche il punto (i) è sbagliato, te sei andato a prendere un punto che sta completamente fuori dal tuo insieme, a quel punto grazie che non c'è nessun suo intorno incluso nell'insieme.
I punti (iii) e (iv) sono fatti bene, mentre nel (v) il risultato è giusto, ma non il motivo, due sottoinsiemi di $RR^2$ chiusi e limitati non sono per forza omeomorfi, l'omeomorfismo che hai detto non controllato se va bene.
Comunque anche il punto (i) è sbagliato, te sei andato a prendere un punto che sta completamente fuori dal tuo insieme, a quel punto grazie che non c'è nessun suo intorno incluso nell'insieme.
I punti (iii) e (iv) sono fatti bene, mentre nel (v) il risultato è giusto, ma non il motivo, due sottoinsiemi di $RR^2$ chiusi e limitati non sono per forza omeomorfi, l'omeomorfismo che hai detto non controllato se va bene.
Ringrazio anche te 
(i) Scusa ma il punto $(0,3)$ mi risulta appartenga all'insieme. Sta nell'asse $x$ e ha ordinata non nulla...
Per (ii), se devo aggiungere ogni possibile limite di successione, $\overline{A}=A \cup {x^2+y^2=2}$, in tal modo aggiungo anche il bordo della palla di raggio $2$
(v) l'omeomorfismo che ti ho scritto non può essere corretto perché i risultati precedenti erano sbagliati. Se la chiusura è corretta, provo a rispondere a questo ultimo punto
(i) Scusa ma il punto $(0,3)$ mi risulta appartenga all'insieme. Sta nell'asse $x$ e ha ordinata non nulla...
Per (ii), se devo aggiungere ogni possibile limite di successione, $\overline{A}=A \cup {x^2+y^2=2}$, in tal modo aggiungo anche il bordo della palla di raggio $2$
(v) l'omeomorfismo che ti ho scritto non può essere corretto perché i risultati precedenti erano sbagliati. Se la chiusura è corretta, provo a rispondere a questo ultimo punto
(i) In effetti avevo confuso gli assi, quel punto ci appartiene, ma questo sostanzialmente non cambia nulla, il fatto che nessun suo intorno sia contenuto in $A$ non vuol dire che l'interno di $A$ sia vuoto, lo sarebbe se questa proprietà valesse per OGNI punto di $A$, ma te lo hai fatto vedere solo per i punti di $A$ fuori dalla palla di raggio $2$, non basta.
(ii) Cosi stai aggiungendo però il bordo della palla di raggio $sqrt2$, dovresti unire ad $A$ ${(x,y)\inRR^2:x^2+y^2=4}$, ma questo sono sicuro sia solo un errore di battitura; ma ce n'è un altro, ovvero, dato che $A$ non contiene punti dell'asse $x$, ci devi aggiungere anche i punti ${(x,y)\inRR^2:-1<=x<=1,y=0}$, perché sono punti che possono essere raggiunti come limite di successioni contenute in $A$.
(ii) Cosi stai aggiungendo però il bordo della palla di raggio $sqrt2$, dovresti unire ad $A$ ${(x,y)\inRR^2:x^2+y^2=4}$, ma questo sono sicuro sia solo un errore di battitura; ma ce n'è un altro, ovvero, dato che $A$ non contiene punti dell'asse $x$, ci devi aggiungere anche i punti ${(x,y)\inRR^2:-1<=x<=1,y=0}$, perché sono punti che possono essere raggiunti come limite di successioni contenute in $A$.
Oh certo naturalmente ho sbagliato a scrivere!
Non riesco però a capire, scusami:
In (1) il più grande aperto nkn può essere la palla aperta di raggio 2, perché i punti di ordinata nulla sono tolti; non so come muovermi
In (2) invece non mi è chiaro perché prendi solo le $x: -1 <= x<=1$ e non quelle comprese tra $-2$ e $2$.
Scusami ancora ma sono bloccato!
Non riesco però a capire, scusami:
In (1) il più grande aperto nkn può essere la palla aperta di raggio 2, perché i punti di ordinata nulla sono tolti; non so come muovermi
In (2) invece non mi è chiaro perché prendi solo le $x: -1 <= x<=1$ e non quelle comprese tra $-2$ e $2$.
Scusami ancora ma sono bloccato!
(i) Certamente non puoi prenderla tutta quella palla, ma ti torna che se alla palla gli togli i punti di ordinata nulla, quello che rimane è sempre un aperto, che stavolta è incusa in $A$? A questo punto è chiaro (vero???) che di aperti più grandi inclusi in $A$ non ne esistono.
(ii) Perché ho sbagliato a scrivere ovviamente
(e ti pareva!)
(ii) Perché ho sbagliato a scrivere ovviamente
(e ti pareva!)
Quindi $Int(A)= {(x,y) \in RR^2: x^2+y^2<4} \cap {(x,y):y!=0}:=C$ è un aperto perché ciascun "pezzo" della circonferenza è un aperto. Infatti per ogni punto $x \in C $ esiste un $\epsilon >0$ tale che $x \in B_{\epsilon}(x) \subset \subset C$.
Grazie mille, gentilissimo !
Grazie mille, gentilissimo !
Giusto, soprattutto la motivazione.
Di niente!
Di niente!
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