Esercizio endomorfismo suriettivo
Leggendo un esercizio ho trovato scritto:
"determinare un endomorfismo suriettivo di $R^4$ in $R^2$ avente come nucleo $<(0,1,1,1),(-1,0,0,0)>$.
Ma non c'è un errore di fondo?:
"un endomorfismo non è definito su uno spazio vettoriale in sè?"
"determinare un endomorfismo suriettivo di $R^4$ in $R^2$ avente come nucleo $<(0,1,1,1),(-1,0,0,0)>$.
Ma non c'è un errore di fondo?:
"un endomorfismo non è definito su uno spazio vettoriale in sè?"
Risposte
Si, è così, intende semplicemente un'applicazione lineare.
"biggest":
"determinare un endomorfismo suriettivo di $R^4$ in $R^2$ avente come nucleo $<(0,1,1,1),(-1,0,0,0)>$."
Prendi come base di $RR^4$ i seguenti vettori:
$((0),(1),(1),(1))$, $((1),(0),(0),(0))$, $((0),(1),(0),(0))$, $((0),(0),(1),(0))$ ;
a questo punto basta definire le immagini degli ultimi due in modo tale che
l'immagine abbia dimensione $2$.
Allora tu hai:
$T((0),(1),(1), (1))=((0),(0))$
$T((-1),(0),(0),(0))=((0),(0))$
poi aggiungi i tre vettori canonici che mancano, ossia $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$ a questo punto scrivi le immagini anche di quest'ultimi:
$T((0),(1),(0), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
$T((0),(0),(1), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
mentre l'immagine del terzo la trovi come combinazione lineare delle altre, ossia:
$(0,0,0,1)=1*(0,1,1,1)+ 0*(-1,0,0,0)-1*(0,1,0,0)-1*(0,0,1,0)$
sostituendo le immagini si ottiene:
$(0,0)-(0,1)-(0,1)=(0,-2)$ dunque
$T((0),(0),(0), (1))=((0),(-2))$
Ora bisogna ordinare le immagini e scrivere la matrice associata.....
$T((0),(1),(1), (1))=((0),(0))$
$T((-1),(0),(0),(0))=((0),(0))$
poi aggiungi i tre vettori canonici che mancano, ossia $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$ a questo punto scrivi le immagini anche di quest'ultimi:
$T((0),(1),(0), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
$T((0),(0),(1), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
mentre l'immagine del terzo la trovi come combinazione lineare delle altre, ossia:
$(0,0,0,1)=1*(0,1,1,1)+ 0*(-1,0,0,0)-1*(0,1,0,0)-1*(0,0,1,0)$
sostituendo le immagini si ottiene:
$(0,0)-(0,1)-(0,1)=(0,-2)$ dunque
$T((0),(0),(0), (1))=((0),(-2))$
Ora bisogna ordinare le immagini e scrivere la matrice associata.....
la matrice sarà:
$A=\|(0,0,0,0), (0,1,1,-2)|$
(dove le colonne sono le immagini dei $4$ versori messi in ordine)
Dunque l'applicazione da $RR^4$ a $RR^2$ è: $T\((x),(y),(z),(s))=\((0),(y+z-2s))$
ora sostituendo i vettori di partenza si dovrebbero ottenere le immagini....spero di aver fatto tutto correttamente, ciao.
$A=\|(0,0,0,0), (0,1,1,-2)|$
(dove le colonne sono le immagini dei $4$ versori messi in ordine)
Dunque l'applicazione da $RR^4$ a $RR^2$ è: $T\((x),(y),(z),(s))=\((0),(y+z-2s))$
ora sostituendo i vettori di partenza si dovrebbero ottenere le immagini....spero di aver fatto tutto correttamente, ciao.
Si tratta di una normale applicazione lineare
Eh si!
"Alexp":
Allora tu hai:
$T((0),(1),(1), (1))=((0),(0))$
$T((-1),(0),(0),(0))=((0),(0))$
poi aggiungi i tre vettori canonici che mancano, ossia $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$ a questo punto scrivi le immagini anche di quest'ultimi:
$T((0),(1),(0), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
$T((0),(0),(1), (0))=((0),(1))$ (questa immagine la puoi scegliere a piacere)
...
Direi proprio di no!!
L'endomorfismo deve essere suriettivo.
Come dici tu viene un endomorfismo non suriettivo!
Si, chiedo scusa, mi sono dimenticato (:oops:) che l'applicazione doveva essere anche surriettiva!
Ok.
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